- В круге проведены две взаимно перпендикулярные и пересекающиеся хорды AB и CD. Известно, что AB=AC=CD. Установить, что больше: площадь круга или площадь квадрата со стороной AB. Ответ: Площадь квадрата больше площади круга.
- В окружность радиусом 13 вписан четырехугольник, один из углов между диагоналями которого равен 120°. Длины диагоналей равны 10 и 24. Найти длину наибольшей стороны четырехугольника.
Решение: Пусть ABCD – заданный четырехугольник. O – центр описанной окружности. OM и OK – перпендикуляры, опущенные из точки O на хорды AC и BD. Учитывая, что треугольники AOM и OKD равны, доказать, что наибольший угол, под которым некоторая сторона четырехугольника может быть видна из точки O, равен 150°. Учесть, что точка O лежит вне четырехугольника ABCD.
Ответ: 26 cos 15°=13(√6+√2)/2. - Две окружности пересекаются в точках K и L. Их центры расположены по одну сторону от прямой, содержащей отрезок KL. Точки A и B лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок AK, касается одной из окружностей в точке K. Прямая, содержащая отрезок BK, касается другой окружности также в точке K. Длина отрезка AL равна 3, длина отрезка BL равна 6, а тангенс угла AKB равен -0,5. Найти площадь треугольника AKB. Ответ: 9(3√10-8)/10.
- Три круга с центрами в точках P, Q и R попарно касаются друг друга внешним образом в точках A, B и C. Известно, что величина угла PQR равна 2arcsin(1/3), а сумма радиусов всех трех кругов равна 12 √2. Какую наибольшую длину может иметь окружность, проходящая через точки A, B, C? Ответ: 6π.
- Две окружности с радиусами r и R (r<R) расположены так, что одна из их общей внутренних касательных перпендикулярна к одной из внешних касательных. Найти площадь треугольника, образованного этими касательными и еще одной внутренней касательной. Ответ: Rr(R-r)/(R+r).
Использованная литература
1. 3000 конкурсных задач по математике. М.: Рольф, 2000. 624 с.
2. Беляева Н.А., Ермоленко А.В. Математика. Методическое руководство и контрольные задания / Сыктывкарский университет. Сыктывкар, 2003. 51 с.
