Решение задач C6 (Часть 2. Уравнения высшей степени)

 

В предыдущей части мы начали изучение задач группы C6. Продолжим их рассмотрение в данной статье, поэтому я продолжу нумерацию.

4. Уравнения высшей степени

4.1. Уравнение x³ + 91 = y³ решите в целых числах.

Решение:  Записать уравнение в виде (y-x)(y²+xy+x²)=13·7. Затем показать, что второй множитель – всегда положителен, поэтому первый множитель равен 1, 7, 13 или 91. Далее надо перебрать все эти случаи.

Ответ: (5;6), (-6;-5), (-3;4), (-4;3).

4.2. Какие целые положительные числа могут удовлетворять уравнению x + y + z = xyz ?

Ответ: (1;2;3),(1;3;2), (2;1;3),(2;3;1), (3;1;2),(3;2;1).
4.3. Решите в целых числах уравнение 19x³ − 84y² = 1984.

Решение: Переписать уравнение в виде
19(x3 −100) = 84(1+ y2 ).  Правая часть кратна 7, поэтому x³ − 2 кратно 7.  Но кубы чисел при делении на 7  не дают в остатке 2.

Ответ: нет решений.

4.4. Найдите все решения в натуральных числах x( y +1)² = 243y .

Указание: выразить x и порассуждать о делителях числа 243.

Ответ:(24; 8),  (54; 2).

4.5. Найдите все натуральные числа х и у, для которых выполняется равенство
x4 + x3 + x2 + x +1 = y2 .

Ответ: (3; 11).

4.6. Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, которые удовлетворяют уравнению

(x+y√2)⁶+(u+v√2)⁶=7+5√2?

Ответ: не существуют.

4.7. Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, которые удовлетворяют уравнению

(a+b√2)²ⁿ+(c+d√2)²ⁿ=5+4√2?

Ответ: не существуют.

4.8. Найдите все тройки целых чисел (x; y; z) , для каждой из которых выполняется соотношение

3(x − 3)² + 6y² + 2z² + 3y² z² = 33.

Ответ: (6;1;0), (6; −1;0), (0;1;0), (0; −1;0).