Home » ЕГЭ » Решение задач C6 (Часть 4. Показательные уравнения)

Решение задач C6 (Часть 4. Показательные уравнения)

7. Показательные уравнения

7.1. Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения
2m − 3n = 1.
Решение. При любом k число 32k +1 при делении на 8 дает остаток 3, а число 32k+1 +1 при делении на 8 дает остаток 4. Так как при m ≥ 3 число 2m делится на 8 без остатка, то равенство
3n +1 = 2m возможно при m = 1 или m = 2. Если m = 1, то получаем n = 0. Если m = 2 , то получаем n = 1.
Ответ: m = 2 , n = 1.

7.2. Решите в натуральных числах уравнение 2x −15 = y2.
Решение. Рассмотрим два случая.
1) x = 2k +1 (х – нечетное число). Поскольку 22 при делении на 3 дает в остатке 1, то и
22k = (22)k дает в остатке 1, а 22k +1 = 2 ⋅ 22k дает в остатке 2. Число 15 делится на 3, следовательно, левая часть уравнения при делении на 3 дает в остатке 2. Правая часть (квадрат числа) дает при делении на 3 в остатке 0 или 1 (докажите). Таким образом, равенство невозможно (левая и
правая части дают при делении на 3 разные остатки).
2) x = 2k. Тогда 22k − y2 = 15, откуда
(2k − y)(2k + y)= 15. Оба множителя слева целые и положительные (так как второй множитель положителен), второй больше первого. Возможны два варианта:
i) 2k-y=1; 2k+y=15
ii) 2k-y=3; 2k+y=5
Разрешая эти системы, получаем ответ.
Ответ: (4;1); (6;7).

7.3. Решите уравнение 3m + 4n = 5k в натуральных числах.
Решение. Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т.е. 1 (см. теорему ниже).  Поэтому k четное число (см. модельную задачу ниже). Аналогично, левая часть уравнения делится на 4 с остатком 1, поэтому число m тоже четное. Итак,
4n = 5k − 3m = 52k0 − 32m0 ,  т.е. 22n = (5k0 − 3m0 )(5k0 + 3m0). Поэтому
5k0 − 3m0 = 2 p и 5k0 + 3m0 = 2q , где p и q – целые неотрицательные числа
p + q = 2n. Таким образом 5k0 =1/2( 2 p +2 q) и
3m0 = 1/2(2 q −2 p) = 2q−1 −2 p−1. Значит, число
2q−1 − 2p−1 нечетно, поэтому p = 1. Значит,
2 p = 2 и 3m0 = 2q−1 −1. Следовательно, число
q −1 четно, q −1 = 2s  (иначе левая часть не делится на 3). Тогда
3m0 = (2s −1)(2s +1) – произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющиеся степенями тройки. Ясно, что эти множители равны 1 и 3. Тогда
s = 1, l = 2s +1 = 3. Теперь получаем m = n = k = 2 .
Ответ: m = n = k = 2 .

Теорема. Если остаток от деления a1 на b равен r1 , а остаток от деления a2 на b равен r2 , то остаток от деления a1 + a2 на b равен остатку от деления r1 + r2 на b.
Модельная задача. Докажите, что остаток от деления на 3 числа 5k равен 1, если k четно, и 2, если k нечетно.


5 комментариев

  1. Нас этому в школе не учат. Как же нам готовиться к ЕГЭ??????

  2. Заниматься самостоятельно, с репетитором.
    Искать решение задач егэ в интернете, покупать книги для подготовки и т.д.

  3. Цитата: “При любом k число 3^(2k +1) при делении на 8 дает остаток 2″
    При k=1; 3^(2*1+1)=3^3=27; 27 mod 8 = 3
    При k=2; 3^(2*2+1)=3^5=243; 243 mod 8 = 3
    Может быть в остатке 3, а не 2?

  4. Цитата: “при m ≥ 3 число 2m делится на 8 без остатка”
    m=5; 2*5=10; 10 mod 8 = 2;
    m=6; 2*6=12; 12 mod 8 = 4;
    Может быть, число 2^m, а не 2m?

Comments are closed.