Дополнительное занятие №3 (6-й класс, делимость чисел)

Задачи на делимость чисел

1. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 — 2, на 4 — 3, на 5 — 4, на 6 — 5, на 7 — 6, на 8 — 7, на 9 — 8, на 10 — 9.

2. Найти все числа, большие 25000, но меньшие 30000, которые как при делении на 131, так и при делении на 1965 дают в остатке 125.

3. При делении некоторого числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число на 75 и почему?

4. На складе имеются ножи и вилки. Число тех и других больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на 160 меньше, чем вилок?

5. Доказать, что если сума двух чисел  есть число нечетное, то произведение этих чисел будет числом четным.

6. Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое — четное. Докажите, что их произведение кратно 24.

7. Если сложить несократимую дробь с единицей, то снова получится несократимая дробь. Почему?

8. Отец и сын решили померять расстояние между двумя деревьями, для чего одновременно отошли от одного и того же дерева. Длина шага отца — 70 см, сына — 56 см. Найти расстояние между деревьями, если известно, что их следы совпали 10 раз.

9. Даны дроби 35/396 и 28/297. Найти наименьшее из всех чисел, при делении которого на каждую из данных дробей получатся целые числа.

При решении задач полезно вспомнить признаки делимости чисел.