Home » ЕГЭ » Разложение многочленов на множители

Разложение многочленов на множители

Определение. Функция вида f(x)=an+an-2x2+an-1x1+…+a0xn, где ai -константы, называется многочленом (полиномом).

Примеры многочленов. x3+4x2-1, 2x2+5×-6.

При решении уравнений вида f(x)=0, где f(x) – многочлен степени n>2 , удобно пользоваться методом разложения многочленов на множители. Данный метод основывается на известной теореме Безу:

Если x0 – корень многочлена f(x), то найдется многочлен g(x) такой, что f(x)=(x-x0)g(x).

Важным является следующее следствие из этой теоремы:

Если x1, x2, …, xn – корни многочлена f(x) степени n с коэффициентом a0 при старшей степени, то f(x)=a0(x-x1)*(x-x2)*…*(x-xn).

На основании теоремы Безу получается следующий алгоритм решения алгебраических уравнений

  1. Находится один из корней уравнения f(x)=0. Замечено, что в случае, если требуется найти решение уравнения с многочленом степени 3 и выше, то в большинстве случаев один из корней находится просо подбором. Причем в первую очередь ищутся корни среди делителей свободного члена. Пусть одним из корней будет число x1.
  2. Делится многочлен f(x) на (x-x1), в результате получим новый многочлен g(x) степени n-1. Если g(x) – многочлен 2-й степени, то решаем обычное квадратное уравнение, иначе переходим на пункт 1. И ищем корни до тех пор, пока не найдем все корни.

Пример. Разложить на множители многочлен 2x4-5x2+3x2+x-1.

Решение. Заметим, что x=1 – корень кратности 3. Еще одним корнем будет число 0,5. Поэтому

2x4-5x2+3x2+x-1=2(x-1)3(x-0,5)=(x-1)3(2×-1).

Хотите купить видеокарту, но не знаете стоимость? Воспользуйтесь сервисом, которой покажет их стоимость в различных компаниях.

(x-1)3

2 комментариев

  1. В многих рассматриваемых примерах, по всему интернету, решаются многочлены: степени не больше 4 и в котрых все коэффициенты (или большинство) при Х, не равны нулю.

    Можете ли Вы указать метод представления в виде произведения 2-х многочленов, данного выражения:

    Х^7+Х^5+1 ?

    • В таких задачах в качестве кандидата на множитель полезно пробовать неполный квадрат суммы или неполный квадрат разности. В данном случае подходит неполный квадрат суммы:
      x^7+x^5+1 = x^7-x^4+x^5+x^4+1 = x^4(x^3-1)+x^2(x^3-1)+x(x^3-1)+(x^2+x+1) = x^4(x-1)(x^2+x+1)+x^2(x-1(x^2+x+1)+x(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1) = (x^2+x+1)(x^5-x^4+x^3-x+1)

Comments are closed.