Разложение многочленов на множители

Определение. Функция вида f(x)=a_n+a_n-2x²+a_n-1x¹+…+a₀xⁿ, где a_i -константы, называется многочленом (полиномом).

Примеры многочленов. x³+4x²-1, 2x²+5×-6.

При решении уравнений вида f(x)=0, где f(x) – многочлен степени n>2 , удобно пользоваться методом разложения многочленов на множители. Данный метод основывается на известной теореме Безу:

Если x₀ – корень многочлена f(x), то найдется многочлен g(x) такой, что f(x)=(x-x₀)g(x).

Важным является следующее следствие из этой теоремы:

Если x₁, x₂, …, x_n – корни многочлена f(x) степени n с коэффициентом a₀ при старшей степени, то f(x)=a₀(x-x₁)*(x-x₂)*…*(x-x_n).

На основании теоремы Безу получается следующий алгоритм решения алгебраических уравнений

1. Находится один из корней уравнения f(x)=0. Замечено, что в случае, если требуется найти решение уравнения с многочленом степени 3 и выше, то в большинстве случаев один из корней находится просо подбором. Причем в первую очередь ищутся корни среди делителей свободного члена. Пусть одним из корней будет число x₁.
2. Делится многочлен f(x) на (x-x₁), в результате получим новый многочлен g(x) степени n-1. Если g(x) – многочлен 2-й степени, то решаем обычное квадратное уравнение, иначе переходим на пункт 1. И ищем корни до тех пор, пока не найдем все корни.

Пример. Разложить на множители многочлен 2x⁴-5x²+3x²+x-1.

Решение. Заметим, что x=1 – корень кратности 3. Еще одним корнем будет число 0,5. Поэтому

2x⁴-5x²+3x²+x-1=2(x-1)³(x-0,5)=(x-1)³(2×-1).

Хотите купить видеокарту, но не знаете стоимость? Воспользуйтесь сервисом, которой покажет их стоимость в различных компаниях.