Демонстрационный вариант олимпиады по математике (1-й тур, 11-й класс, 2010-й год)

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» ежегодно проводит олимпиады, по результатам которых происходит зачисление. Олимпиады проводятся по различным предметам. Меня же интересует только олимпиада по математике. В демонстрационном варианте за 2010-й год было приведено 10 задач. Разбор задач разобью на несколько статей.

Привожу постановку задач и решение или указание к решению первых 3-х задач.

1. Найти наименьшее n, такое, что уравнение tg(tg(…(tg(x))…)=2011 (в уравнении n тангенсов) имеет бесконечное число решений на отрезке [0,π /3].

Решение.

Область значений функции tg x на отрезке [0;p/3] от 0 до 3^1/2. Т.е. значение 2011 не достигается.

Область значений функции tg x на отрезке [0; 3^1/2] уже от 0 до  ∞. При этом значение 2011 достигается 1 раз.

Функция tg (tg (tg x)) на отрезке [0;p/3] принимает такие же значения, как функция tg x на промежутке [0; +∞), то есть принимает любое значение бесконечное число раз. Кроме того,

любое значение бесконечное число раз она принимает на луче (- ∞ ; arctg 3] ). Значение 2011 она принимает бесконечное число раз.

Ответ:3

2.Найти двузначное число, такое, что его квадрат равен кубу суммы его цифр.

Решение. Пусть x – число десятков, y – число единиц.

При этом x – это целое число от 1 до 9, а y – от 0 до 9. Данное условие во многих задачах является важным.

Тогда составляем уравнение

(10x + y)² = (x + y)³

Отсюда получаем, что (10x + y) = (x + y)^3/2

Т.е. x+y должно быть полным квадратом, чтобы можно было извлечь корень. При этом 1<x+y<20, поэтому x+y может быть одним из чисел: 4, 9, 16.

Далее простой перебор

Если x+y=4, то 10x + y=8 – это не двузначное число

Если x+y=9, то 10x + y=27 – это двузначное число, удовлетворяет условию задачи. Нас устраивает.

Если x+y=16, то 10x + y=64 – это двузначное число, но 64 не подходит, потому что сумма цифр этого числа = 10, а не 16, т.е. не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 27

Замечание. Спасибо Teri за комментарий.

3. Различные целые числа m и n таковы, что числа (1/m+2)+(1/n+2) являются

корнями квадратного уравнения x² + ax + b = 0 с целыми коэффициентами. Найти a + b.

Решение

Ответ: -1