Ортоцентр. Высоты в треугольнике

Про медиану и биссектрису в треугольнике в рамках школьной математике имеется много различных теорем, но вот про некоторые свойств высот умалчивается. Факт про незнание школьниками свойств высот, как мне кажется, активно используется при организации различных математических олимпиад и конкурсов. Т.е. такими задачами отсекаются сразу школьники, которые не занимаются математикой дополнительно.

Про высоты в треугольнике известно, что они проводятся перпендикулярно к сторонам, что точка пересечения срединных перпендикуляров является центром описанной окружности. Ну еще, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. По моему, я перечислил все факты, что знают школьники о высотах.

Важной точкой является ортоцентр – точка пересечения высот. Известны следующие свойства ортоцентра:

• Если точка H является ортоцентром треугольника ABC, то любая вершина является ортоцентром треугольника, составленного из остальных вершин, т.е. А – ортоцентр треугольника BCH и т.д. Точки A, B, C, H при этом называют ортоцентрической системой.
• Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

• .
• . Здесь R – радиус описанной окружности.
• Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Здесь приведены наиболее используемые факты, связанные с перпендикулярами. Я настоятельно рекомендую запомнить эти свойства. А еще полезней будет провести доказательство этих утверждений, т.к. поняв доказательство, можно легко запомнить свойства.