Home » Геометрия » Ортоцентр. Высоты в треугольнике

Ортоцентр. Высоты в треугольнике

ортоцентр, высотыПро медиану и биссектрису в треугольнике в рамках школьной математике имеется много различных теорем, но вот про некоторые свойств высот умалчивается. Факт про незнание школьниками свойств высот, как мне кажется, активно используется при организации различных математических олимпиад и конкурсов. Т.е. такими задачами отсекаются сразу школьники, которые не занимаются математикой дополнительно.

Про высоты в треугольнике известно, что они проводятся перпендикулярно к сторонам, что точка пересечения срединных перпендикуляров является центром описанной окружности. Ну еще, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. По моему, я перечислил все факты, что знают школьники о высотах.

Важной точкой является ортоцентр – точка пересечения высот. Известны следующие свойства ортоцентра:

  • Если точка H является ортоцентром треугольника ABC, то любая вершина является ортоцентром треугольника, составленного из остальных вершин, т.е. А – ортоцентр треугольника BCH и т.д. Точки A, B, C, H при этом называют ортоцентрической системой.
  • Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны.
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
Пусть O является центром описанной около треугольника ABC окружности, тогда дополнительно верны следующие утверждения:
  • vec{OH}=vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}.
  • OH=sqrt{9R^2-(AB^2+BC^2+CA^2)}. Здесь R – радиус описанной окружности.
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Здесь приведены наиболее используемые факты, связанные с перпендикулярами. Я настоятельно рекомендую запомнить эти свойства. А еще полезней будет провести доказательство этих утверждений, т.к. поняв доказательство, можно легко запомнить свойства.


2 комментариев

  1. Спасибо за информацию. Во втором абзаце ошибка: Ну еще, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и БИССЕКТРИСОЙ.

Comments are closed.