Математика Решение одной задачи по планиметрии с использованием понятия ортоцентр

В одной из статей я рассказывал о замечательных свойствах ортоцентра треугольника. Рассмотрим в данной статье решение задачи с использованием данных свойств. Задача была предложена в 2010-м году во 2-м туре Межрегиональной многопрофильной олимпиады школьников ГУ-ВШЭ.

Постановка задачи. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AA₁. Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC. Известно, что AH=3, A₁H=2, а радиус окружности, описанной около ABC равен 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения высот.

Решение. Для решения данной задачи буду использовать метод координат. Для этого проведем оси через прямую CB и через точку A перпендикулярно CB. Тогда можно вершины треугольника будут иметь следующие координаты (смотрите рисунок):

C(-x_1;0), B(x_2;0), A(0;5),H(0;2)(

Для сокращения записей обозначим стороны треугольника через a,b,c , Далее используем известную формулу для вычисления площади треугольника

S={abc}/{4R}

С другой стороны площадь треугольника вычисляется по формуле

S={1/2}*5*a ,

откуда сразу получаем, что

b*c=40

Теперь по теореме Пифагора и последней формуле находим

$sqrt{{x_1}^2+5^2}*sqrt{{x_2}^2+5^2}=40$

Рассмотрим теперь треугольник CHB. По свойствам ортоцентра радиус описанной около него окружности равен радиусу окружности, описанной около ABC, т.е. равен 4. Проводя далее рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим

$sqrt{{x_1}^2+2^2}*sqrt{{x_2}^2+2^2}=16$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. При решении получится биквадратное уравнение, решать которое должен уметь каждый школьник.

Затем необходимое расстояние находится по формуле (опять же из свойств ортоцентра):

$OH=sqrt{9R^2-(AB^2+BC^2+CA^2)}$

До чисел доводить я не буду. Мне кажется, что дальнейшее решение понятно. Если есть вопросы. с удовольствием отвечу. Буду рад, если укажите точный ответ.