Математика Разбор задач с6 егэ по математике

Полезные ссылки

Примеры решения задач с6 егэ по математике

Пример 1. Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение.
Очевидно, что максимальное значение получится, если все произведения взять со знаком “+”. При этом сумма будет равняться с использованием формулы о сумме членов арифметической прогрессии следующему числу:

(2+…+ 7)(13+…+ 21)=((2+7)/2* 6)*((13+21)/2*9)=4131

Сумма оказалась нечетной, поэтому число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0. Тем самым доказали, что 0 не может быть минимальным числом.

Далее надо попробовать расставить знаки так, чтобы получить 1. Но значение 1 может получиться только в том случае, если в каждой скобке получится 1. Поэтому значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок:
(−2 + 3 − 4 + 5 + 6 − 7)(−13 −14 −15 −16 +17 −18 +19 + 20 + 21) =1⋅1=1.

Ответ: 1 и 4131.

Замечание. Использован факт “сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетна”.

Критерии оценки этой задачи

4 балла – Обоснованно получен правильный ответ
3 балла – Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано, что либо сумма отлична от 0, либо что она может быть равна 1)
2 балла Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что она всегда отлична от 0
1 балл Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что она всегда отлична от 0
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Пример 2. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение. а) Допустим, что последовательность состоит из двух членов, тогда обозначим их через a и 10a. Отсюда получаем уравнение a +10a = 3024 или 11a = 3024. Данное уравнение не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.

б) Если удастся привести последовательность из трех членов, то гарантировано “да”. Можно легко проверить, что три числа 252, 2520, 252 образуют искомую последовательность. Как быть, если не решается задача творчески. В этом случае можно по аналогии с первым пунктом попробовать составить уравнения.
в (пример) Приведём пример последовательности из 549 членов:

10, 1, 10, 1, 10, …, 1, 10.

В данной последовательность 274 пары чисел 1+10 и одно число 10 без пары. В итоге сумма как раз и составляет 3024.
в (оценка) Теперь надо показать, что не может быть более чем 549. Докажем это методом от противного. Для этого допустим, что в последовательности более чем 549 членов.

Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый ивторой, третий и четвёртый, пятый и шестой и т.д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Таким образом, сумма всех членов последовательности не меньше, чем 275⋅11= 3025 > 3024. Получили противоречие.
Ответ: а) нет, б) да, в) 549.

Критерии оценки этой задачи

4 балла Верно выполнены: а), б), в (пример), в (оценка)
3 балла Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в (пример), в (оценка)
2 балла Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в (пример), в (оценка)
1 балл Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в (пример), в (оценка)
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

По указанным выше критериям оценивалась также следующая задача:

Пример 3. На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.

а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение. Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 9k −18l + 0 ⋅m = −5(k + l + m) .
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 9. По условию 27 < k + l + m < 45 , поэтому k + l + m = 36 . Таким образом, написано 36 чисел.
б) Приведём равенство 9k −18l = −5(k + l + m) к виду 13l =14k + 5m. Так как m ≥ 0 , получаем, что 13l ≥14k , откуда l > k . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в (оценка) Подставим k + l + m = 36 в правую часть равенства 9k −18l = −5(k + l + m) : 9k −18l = −180 , откуда k = 2l − 20. Так как k + l ≤ 36, получаем: 3l − 20 ≤ 36, 3l ≤ 56, l ≤18, k = 2l − 20 ≤16; то есть положительных чисел
не более 16.
в (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два раза написан 0.
Тогда 1/36*(9*16-18*18)=1/36*(144-324)=-5. Т.е. данный удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.