Home » Геометрия » Еще одна 26-я задача гиа

Еще одна 26-я задача гиа

gia26

Пример решения одной задачи гиа по математике. Не ручаюсь за дословность, пишу по памяти.

В треугольнике ABC проведена медиана BM, на которой отмечена точка K так, что BK:KM=7:3. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найти отношение площади четырехугольника MKPC к площади треугольника BKB.

Решение. Проведем прямую MN параллельно прямой KP, тогда MN будет средней линией треугольника APC, поэтому PN=NC.

По условию BK:KN=7:3, поэтому BP:PN=7:3 из-за параллельности прямых KP и NM.

C учетом равенства  PN=NC получаем BP:BC=7:13.

Обозначим площадь треугольника BMC через S. Тогда площадь треугольника BKP равна 7/{10}  7/{13}S=49/{130}S. Нужно объяснить почему? В комментариях уже двое поинтересовались подробностями вычисления площади. Поэтому привожу более подробное решение. Итак, по теореме Фалеса BK:KN=BP:PN=7:3.  При этом, по той же теореме Фалеса (с учетом условия) PN:NC=1:1. Поэтому BP:Pс=7:13.

Теперь площадь четырехугольника MKPC равна  S-49/{130}S=81/{130}S

Поэтому искомое отношение равно 81/{49}

P.S. Решение приведено для хорошистов и отличников, которые сами дополнят пропуски, а двоечникам и троечникам данная задача при подготовке к гиа по математике ни к чему :-)


3 комментариев

Comments are closed.