Home » 2016

Yearly Archives: 2016

Подборка задач на вычисление площади

  1. Дан треугольник ABC площадью 100 кв. ед. На сторонах AC и BC отмечены точки  N и M соответственно. Найдите площадь четырехугольника ABMN, если:
    1. BM:MC=1:2, AN:NC=3:2.
    2. BM:MC=3:4, AN:NC=2.
    3. BM:MC=1:3, AB||NM.
  2. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольника.
  3. В треугольнике со сторонами 7, 8, 9 найдите длины высот.
  4. В треугольнике со сторонами 7, 8, 9 найдите площади описанного и вписанного кругов.
  5. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь этого треугольника.
  6. В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окруж­ность.
    1. До­ка­жи­те, что этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.
    2. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны ромба, делит её на от­рез­ки, рав­ные 3 и 2. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.
  7. Дана трапеция ABCD, AD, BC – основания. O – точка пересечения диагоналей. Докажите:
    1. Треугольники BOC и ДОА подобны.
    2. Треугольники ABO и COD равновелики.
  8. В трапеции площадью 90 кв. ед. основания соотносятся как 1 к 3. Найдите площади треугольников, на которые разбивается трапеция диагоналями.
  9. Площадь трапеции ABCD равна 96, а одно из оснований вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника
  10. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
    1. Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
    2. Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

P.S. Обращаю ваше внимание на то, что здесь есть как и очень простые, которые могут встретиться в первой части, так и достаточно сложные задачи из второй части егэ по математике.

Два интересных неравенства

Недавно встретил два нестандартных неравенства. Самое интересное, что они взяты из учебника 11 класса “Алгебра и начала анализа”. Но в той группе где я проводил занятие, никто не смог решить его. Поэтому я посчитал необходимым более подробно их разобрать. (ещё…)

Гаусс, Гильберт, Дазе

Предлагаю ознакомится вам с немецкими математиками.

Гаусс, Карл Фридрих (1777-1855)

выдающийся немецкий математик, астроном и геодезист

Родился в городе Брауншвейге в семье бедного ремесленника. Благодаря своим необычайным способностям и покровительству герцога Брауншвейгского К. Гаусс получил отличное образование. Он закончил Екатерининскую гимназию и Геттингенский университет, в котором впоследствии возглавлял кафедру математики (ещё…)

гиа по математике – 26-е задачи

Я предлагаю вам ознакомится с решением 26 задачи части С из гиа по математике на тему: Комбинация многоугольников и окружностей

№1.

Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

get_file (1)

Решение:

1) Возьмем Ох за центр данной окружности. Q – это центр окружности вписанной в треугольник ABC.

2) AC делится пополам точкой касания M. AQ и AO – биссектрисы смежных углов, а значит угол OAQ прямой.

3) Из прямоугольного треугольника OAQ получим AM^2=MQ x MO.

4) Значит, QM=AM^2/OM=36/8=4.5

Ответ: 4.5

 

 №2.

Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённые из точек B и C, про­дол­жи­ли до пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной окруж­но­стью в точ­ках B1 и C1. Ока­за­лось, что от­ре­зок B1C1 про­хо­дит через центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол BAC.

Решение:

get_file

1) Отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности, значит B1C1 является диаметром.

2) Углы BB1C, CC1B и CAB – вписанные и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.

3) Прямоугольный треугольник B1OC. В нем угол B1OC=90 градусов – угол BB1C.

4) Прямоугольный треугольник LCO. В нем угол LCO=90 градусов- угол B1OC и равен углу BB1C  и углу BAC.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник CAM. Углы BAC и ACC1 равны, а значит угол BAC= углу ACC1=90 градусов/2=45 градусов.

Ответ: 45 градусов.

№3.

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 14, SQ = 4 .

Решение:

get_file (1)

1) По­сколь­ку угол QPS = углу QPM = углу MNQ = углу QNP , а тре­уголь­ник PQS по­до­бен тре­уголь­ни­ку NQP по двум углам, потому что у них угол при вер­ши­не Q общий.

2) Следовательно QS/PQ=PQ/QN. Возьмем NS за х. Тогда 4/14=14/x+4

3) Получаем, что х=45

Ответ:45

 

 

 

 

 

 

 

Подборка вычислительных задач егэ по математике – базовый уровень

naitiЗанимаясь со школьниками, готовящимися к егэ по математике, столкнулся с тем, что они очень плохо решают вычислительные задачи. Кроме того, что они в явном виде встречаются в задачах как базового, так и профильного уровня егэ по математике, это приводит к тому, что и в других задачах могут возникнуть вычислительные ошибки ,что приводит к тому, что казавшаяся простой задача не зачтена.

Другой группе школьников будет счастьем решить хотя бы 7 задач базовой математики, поэтому им обязательно нужно решить простые вычислительные задачи. Поэтому при подготовке к егэ рекомендую всегда начинать с вычислительных задач. (ещё…)

Подборка задач №25 из ГИА

Подборка задач №25 из ГИА.

1.На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

 Новый точечный рисунокРешение:

1) BD=BE по условию, значит треугольник BDE – равнобедренный.

2) Возьмем за х угол при основании треугольника ABC, тогда получим что угол BEC= равен углу BDA и равен 180-х.

3) Треугольник BEC равен треугольнику BDA по двум сторонам и углу между ними, значит AB=BE и треугольник ABC- равнобедренный.

2. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­кеABCточки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­сто­рон­ний.

Новый точечный рисунок (2)Решение:

1) Точки M, N, K  являются серединами сторон треугольника ABC , который равносторонний. Из этого следует, что от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны.

2) В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, значит тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними.

3) Тогда MN=MK=KN, зна­чит тре­уголь­ник MNK- рав­но­сто­рон­ний.

 3.В па­рал­ле­ло­грам­меABCDпро­ве­де­ны вы­со­ты BE и BF. До­ка­жи­те, что треугольник ABC по­до­бен треугольнику CBF.

Новый точечный рисунок (3)Решение:

1) В треугольниках ABC и CBF угол А равен углу С, как противоположные углы параллелограмма.

2) Угол BEA равен углу CFB, как прямые углы.

3) Зна­чит тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.