егэ – задачи на целые числа

Пример 1. Решите в целых числах уравнение 3ⁿ+8=x².

Решение. Первое решение сразу видно :

n=0, x=3.

Далее надо показать, что при n>0 целых корней нет. Для этого запишем уравнение в следующем виде:

3ⁿ+9=x²+1.

Обратим внимание, что выражение слева делится на 3. Покажем, что при x>3 выражение слева не будет делиться на 3. Возможны три варианта значений x:

1. x делится на 3, тогда x=3k;
2. x делится на 3 c остатком 1, тогда x=3k+1;
3. x делится на 3 c остатком 2, тогда x=3k+2.

Здесь учтено, что k>1. Подставим эти выражения в правую часть уравнения 3ⁿ+9=x²+1.

1. x²+1=(3k)²+1=9k²+1 не делится на 3.
2. x²+1=(3k+1)²+1=9k²+6k+2 не делится на 3.
3. x²+1=(3k+2)²+1=9k²+12k+5 не делится на 3.

Таким образом получаем, что единственное решение возможно при n=0, x=3.

Ответ. n=0, x=3.

Пример 2. Учитель пишет примеры на сложение трех натуральных чисел так, чтобы во всех примерах ответ был один и тот же N, при этом он хочет, чтобы все слагаемые во всех примерах ( даже в различных примерах ) были различны.

а) Можно ли написать два таких примера, если N =14?
б) Можно ли написать 7 таких примеров, если N=51?
в) Можно ли написать 13 таких примеров, если N=51?

Решение. а) Да, можно. Например так:

1+2+11=14
3+4+7=14

б) Также можно, например так:

1+2+48=51
3+4+44=51
5+6+40=51
7+8+36=51
9+10+32=51
11+12+28=51
13+14+24=51

в) Нет, нельзя. Для записи 13 примеров необходимо использовать 13*3=39 чисел. Вычислим минимальную сумму разных 39 чисел – это сумма чисел от 1 до 39, которая может быть вычислена как сумма членов арифметической прогрессии:

При этом необходим написать 13 примеров, общая сумма которых равна 13*51=663. Таким образом мы не можем записать 13 таких примеров, потому что сумма использованных 39 чисел больше необходимой суммы.

Ответ: а) да, б) да, в) нет.

При решении уравнений в целых числах полезно использовать некоторые факты из теории чисел.