Home » ЕГЭ » егэ – задачи на целые числа

егэ – задачи на целые числа

CY1QMorWEAEbRDZПример 1. Решите в целых числах уравнение 3n+8=x2.

Решение. Первое решение сразу видно :

n=0, x=3.

Далее надо показать, что при n>0 целых корней нет. Для этого запишем уравнение в следующем виде:

3n+9=x2+1.

Обратим внимание, что выражение слева делится на 3. Покажем, что при x>3 выражение слева не будет делиться на 3. Возможны три варианта значений x:

  1. x делится на 3, тогда x=3k;
  2. x делится на 3 c остатком 1, тогда x=3k+1;
  3. x делится на 3 c остатком 2, тогда x=3k+2.

Здесь учтено, что k>1. Подставим эти выражения в правую часть уравнения 3n+9=x2+1.

  1. x2+1=(3k)2+1=9k2+1 не делится на 3.
  2. x2+1=(3k+1)2+1=9k2+6k+2 не делится на 3.
  3. x2+1=(3k+2)2+1=9k2+12k+5 не делится на 3.

Таким образом получаем, что единственное решение возможно при n=0, x=3.

Ответ. n=0, x=3.

Пример 2. Учитель пишет примеры на сложение трех натуральных чисел так, чтобы во всех примерах ответ был один и тот же N, при этом он хочет, чтобы все слагаемые во всех примерах ( даже в различных примерах ) были различны.

а) Можно ли написать два таких примера, если N =14?
б) Можно ли написать 7 таких примеров, если N=51?
в) Можно ли написать 13 таких примеров, если N=51?

Решение. а) Да, можно. Например так:

1+2+11=14
3+4+7=14

б) Также можно, например так:

1+2+48=51
3+4+44=51
5+6+40=51
7+8+36=51
9+10+32=51
11+12+28=51
13+14+24=51

в) Нет, нельзя. Для записи 13 примеров необходимо использовать 13*3=39 чисел. Вычислим минимальную сумму разных 39 чисел – это сумма чисел от 1 до 39, которая может быть вычислена как сумма членов арифметической прогрессии:

1+2+...+39={1+39}/2{}*39=780.

При этом необходим написать 13 примеров, общая сумма которых равна 13*51=663. Таким образом мы не можем записать 13 таких примеров, потому что сумма использованных 39 чисел больше необходимой суммы.

Ответ: а) да, б) да, в) нет.

При решении уравнений в целых числах полезно использовать некоторые факты из теории чисел.


1 комментарий

Leave a comment

Ваш email не будет опубликован.

Вы можете использовать это HTMLтеги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>