Использование производной при исследовании функции

Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию f(x). Большую роль в исследовании функций играет производная f'(x). При подготовке к егэ по математике необходимо уметь вычислять производную функции и знать связь между функцией и производной.

Связь между функцией и производной

Данную связь можно представить в виде следующей таблицы:

Функция f(x)	Производная f'(x)
возрастает	больше 0
убывает	меньше 0
имеет максимум/минимум	равна 0

Геометрический смысл производной

При этом необходимо помнить, что геометрический смысл производной  в точке – это тангенс угла наклона касательной в этой точке.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x)  и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке xo.

Решение.

Первое что надо сделать – это построить прямоугольный треугольник так по линиям проходящим через узлы клеточек. Как правило такие точки хорошо видны на рисунке, иногда они даже выделены как в этом примере.

Далее, тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему. В данном случае это отношение 3 к 12. Учитывая, что в данном примере в точке x0 функция убывает, необходимо взять значение производной с минусом.

Таким образом тангенс (и производная) равна -3/12=-0,25.

Ответ. -0,25.

Пример 2. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Решение.

Обращаю внимание на то, что здесь приведен график производной, а не самой функции. поэтому нас интересует не где функция на этом графике возрастает или убывает, а только там гдн она больше или меньше нуля. Красными стрелками на рисунке показано, где исходная функция убывает и возрастает. Убывает она в средней части.

Отметим какие целые значения попадают в указанный промежуток: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Всего получается 8 значений, что и требуется по условию задачи.

Ответ: 8.

Замечание. Данная задача встречается в b14 для базового уровня в егэ по математике и в b7 – в профильной в 2016-м году.

Рекомендую ознакомиться с ручками Lamy на официальном сайте в России – http://lamy.com.ru/. На сайте можно ознакомиться с продукцией компанией на все случаи жизни. Кроме этого большой интерес представляет блог компании Lamy, из которого можно, например, узнать, как избежать ошибок при использовании перьевых ручек.