Подборка задач №25 из ГИА

Набор задач по ГИА. Задание 25 по теме: «Окружность».

1. В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны две хорды АB и CD так, что цен­траль­ные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ОК и OL. До­ка­жи­те, что ОК и OL равны.

 

Решение:

1) Тре­уголь­ни­ки АОВ и СОD равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, ∠AOB = ∠COD по усло­вию).

2) Значит, вы­со­ты OK и OL равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков.

Ответ: OK и OL равны.

2. Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­кахIи J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. До­ка­жи­те, что от­рез­ки AB и IJ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Решение:

1) Точка I рав­но­уда­ле­на от A и B, по­это­му она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку AB. То же можно ска­зать и о J .

2)Зна­чит IJ — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к AB.

Ответ: от­рез­ки AB и IJ пер­пен­ди­ку­ляр­ны

3. Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка делят опи­сан­ную около него окруж­ность на три дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 3 : 5 : 10. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если мень­шая из сто­рон равна 19.

Решение:

1) Пусть длины дуг AB, BC и AC от­но­сят­ся как 3 : 5 : 10, тогда наи­мень­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка ABC — сто­ро­на AB = 19.

2) По свой­ству впи­сан­но­го угла ACB=1/2х3/3+5+10х360(градусов)=30(градусов)

3) Из тео­ре­мы си­ну­сов на­хо­дим, что ра­ди­ус окруж­но­сти равен R=BC/2sin30(градусов)=19

Ответ:19