Home » ГИА » гиа по математике – 26-е задачи

гиа по математике – 26-е задачи

Я предлагаю вам ознакомится с решением 26 задачи части С из гиа по математике на тему: Комбинация многоугольников и окружностей

№1.

Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

get_file (1)

Решение:

1) Возьмем Ох за центр данной окружности. Q – это центр окружности вписанной в треугольник ABC.

2) AC делится пополам точкой касания M. AQ и AO – биссектрисы смежных углов, а значит угол OAQ прямой.

3) Из прямоугольного треугольника OAQ получим AM^2=MQ x MO.

4) Значит, QM=AM^2/OM=36/8=4.5

Ответ: 4.5

 

 №2.

Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённые из точек B и C, про­дол­жи­ли до пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной окруж­но­стью в точ­ках B1 и C1. Ока­за­лось, что от­ре­зок B1C1 про­хо­дит через центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол BAC.

Решение:

get_file

1) Отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности, значит B1C1 является диаметром.

2) Углы BB1C, CC1B и CAB – вписанные и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.

3) Прямоугольный треугольник B1OC. В нем угол B1OC=90 градусов – угол BB1C.

4) Прямоугольный треугольник LCO. В нем угол LCO=90 градусов- угол B1OC и равен углу BB1C  и углу BAC.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник CAM. Углы BAC и ACC1 равны, а значит угол BAC= углу ACC1=90 градусов/2=45 градусов.

Ответ: 45 градусов.

№3.

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 14, SQ = 4 .

Решение:

get_file (1)

1) По­сколь­ку угол QPS = углу QPM = углу MNQ = углу QNP , а тре­уголь­ник PQS по­до­бен тре­уголь­ни­ку NQP по двум углам, потому что у них угол при вер­ши­не Q общий.

2) Следовательно QS/PQ=PQ/QN. Возьмем NS за х. Тогда 4/14=14/x+4

3) Получаем, что х=45

Ответ:45