Home » 2016 » Ноябрь

Monthly Archives: Ноябрь 2016

Подборка задач на вычисление площади

  1. Дан треугольник ABC площадью 100 кв. ед. На сторонах AC и BC отмечены точки  N и M соответственно. Найдите площадь четырехугольника ABMN, если:
    1. BM:MC=1:2, AN:NC=3:2.
    2. BM:MC=3:4, AN:NC=2.
    3. BM:MC=1:3, AB||NM.
  2. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольника.
  3. В треугольнике со сторонами 7, 8, 9 найдите длины высот.
  4. В треугольнике со сторонами 7, 8, 9 найдите площади описанного и вписанного кругов.
  5. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь этого треугольника.
  6. В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окруж­ность.
    1. До­ка­жи­те, что этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.
    2. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны ромба, делит её на от­рез­ки, рав­ные 3 и 2. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.
  7. Дана трапеция ABCD, AD, BC – основания. O – точка пересечения диагоналей. Докажите:
    1. Треугольники BOC и ДОА подобны.
    2. Треугольники ABO и COD равновелики.
  8. В трапеции площадью 90 кв. ед. основания соотносятся как 1 к 3. Найдите площади треугольников, на которые разбивается трапеция диагоналями.
  9. Площадь трапеции ABCD равна 96, а одно из оснований вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника
  10. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
    1. Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
    2. Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

P.S. Обращаю ваше внимание на то, что здесь есть как и очень простые, которые могут встретиться в первой части, так и достаточно сложные задачи из второй части егэ по математике.

Два интересных неравенства

Недавно встретил два нестандартных неравенства. Самое интересное, что они взяты из учебника 11 класса “Алгебра и начала анализа”. Но в той группе где я проводил занятие, никто не смог решить его. Поэтому я посчитал необходимым более подробно их разобрать. (ещё…)