Home » Занимательная » Два интересных неравенства

Два интересных неравенства

Недавно встретил два нестандартных неравенства. Самое интересное, что они взяты из учебника 11 класса “Алгебра и начала анализа”. Но в той группе где я проводил занятие, никто не смог решить его. Поэтому я посчитал необходимым более подробно их разобрать.

Собственно неравенства следующие.

1) x^{12}-x^9+x^4-x+1<0;

2) x^{18}-x^{13}+x^10-x^7+x^2-x+1>0.” title=”x^{18}-x^{13}+x^10-x^7+x^2-x+1>0.”/></p>
<p style=Рассмотрим решение первого из них:

x^{12}-x^9+x^4-x+1<0.

Для начала убеждаемся, что целых корней нет. Группировкой тоже не получается. Поэтому должны возникнуть мысль, что либо нет решений, либо решением является вся числовая прямая. Покажем, что решения действительно нет.

Рассмотрим интервал (-infty ;0 ]. Разобьем по парам

 x^{12}-x^9+x^4-x+1= (x^{12}-x^9)+(x^4-x)+1.

Заметим, что в каждой скобке выражение больше нуля. поэтому на этом интервале решения нет.

Легко показать, что на интервале [1,infty) также нет решения.

Наибольшую трудность представляет интервал (0,1). Здесь можно исследовать функцию на минимум. Однако возникают трудности с нахождением нулей производной. Для облегчения предлагаю следующую оценку снизу:

 x^{12}-x^9+x^4-x+1>x^{12}-x^9+x^4-3x+1″ title=”x^{12}-x^9+x^4-x+1>x^{12}-x^9+x^4-3x+1″/>.</p>
<p style=У данной функции максимальное значение находится легче и при этом оно больше 0, что означает отсутствие решения и на интервале (0,1).

Ответ: Решения нет.

Аналогично решается и второе неравенство. Только ответ во втором случае: [-infty,infty].

Данные неравенства будет полезны при подготовке ко второй части ЕГЭ по математике как заставляющие нестандартно мыслить.