Home » ЕГЭ » Сведения из теории вероятностей для успешной сдачи егэ по математике

Сведения из теории вероятностей для успешной сдачи егэ по математике

Определение классической вероятности

Большинство задач по теории вероятностей в рамках егэ решается с использованием определения классической вероятности.

Определение (классической вероятности). Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих ему, к общему числу исходов:

P(A)=m/n

Здесь A – событие, m – количество благоприятных исходов, n – общее число исходов

Пример. В сбор­ни­ке би­ле­тов по фи­ло­со­фии всего 20 би­ле­тов, в 19 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме “Пи­фа­гор”. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме “Пи­фа­гор”.

Решение. Обозначим через A вероятность того, что не достанется вопрос по теме «Пифагор». Тогда общее количество исходов будет 20 (это и есть n), количество благоприятных исходов будет 1 (это и есть m), данное число получено как разность 20-19. Поэтому искомая вероятность будет равна P(A)=1/20=0,05.

Противоположные события

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Пример. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем 36,8 °С, равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся 36,8 °С или выше.

Решение. В данном примере события «температура ниже чем 36, 8 °С» и «температура равна или выше чем 36, 8 °С» являются противоположными. Поэтому искомая вероятность равна 1-0,7=0,3.

Совместные и несовместные события

Определение. События называются несовместными, если в результате эксперимента они не могут произойти одновременно. В противном случае они совместны.

Теорема. Если события A, B несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей, т.е.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Замечание. Для несовместных событий теорема не выполняется.

Пример. Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

Решение. В условиях сформулированной выше теоремы событие A+B={чайник прослужит более года}, B={чайник про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года}, A={чайник прослужит более двух лет}.

По условию P(A+B)=0,97, P(A)=0,89. Поэтому P(B)=P(A+B)-P(A).

Формула полной вероятности

Теорема (формула полной вероятности). Если событие F может произойти только при наступлении одного из событий A1, A2, …, An, образующих полную группу, то вероятность этого события равна сумме произведений этих вероятностей на условную вероятность события F, т.е.

P(F)=P(A1)P(F|A1)+ P(A2)P(F|A2)+…+ P(An)P(F|An)

Пример. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Сделаем обозначение: F={Джон промахнется}, A1={Джон взял пристрелянный револьвер}, A2={Джон взял не пристрелянный револьвер}. По условию задачи имеем: P(A1)=4/10=0,4, P(A2)=6/10=0,6, P(F|A1)=1-0,9=0,1 (в условии указана вероятность попадания), P(F|A2)=1-0,2=0,8.

По условию теоремы имеем P(F)=0,4*0,1+0,6*0,8=0,04+0,48=0,52.

 Замечание. Решение без использования формулы полной вероятности.

Задачи для самостоятельной работы (частично взяты с сайта «решу егэ»)

  1. Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли идти. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка оста­но­ви­лась, до­стиг­нув от­мет­ки 10, но не дойдя до от­мет­ки 4 часа.
  2. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
  3. В клас­се 26 уча­щих­ся, среди них два друга — Ан­дрей и Сер­гей. Уча­щих­ся слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на 2 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Ан­дрей и Сер­гей ока­жут­ся в одной груп­пе.
  4. В блюде 35 пи­рож­ков: 9 с мясом, 12 с яйцом и 14 с рыбой. Катя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с рыбой.
  5. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 3 дня. Всего за­яв­ле­но 50 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 18 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?
  6. Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 16 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Тарас Ку­ни­цын. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Тарас Ку­ни­цын будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии.
  7. В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что решка вы­па­ла боль­ше раз, чем орёл.
  8. Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся П. верно решит боль­ше 7 задач, равна 0,78. Ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит боль­ше 6 задач, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит ровно 7 задач.
  9. В сред­нем из 2000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 20 под­те­ка­ют. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет.
  10. На борту самолёта 12 мест рядом с за­пас­ны­ми вы­хо­да­ми и 21 мест за пе­ре­го­род­ка­ми, раз­де­ля­ю­щи­ми са­ло­ны. Осталь­ные места не­удоб­ны для пас­са­жи­ра вы­со­ко­го роста. Пас­са­жир В. вы­со­ко­го роста. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на ре­ги­стра­ции при слу­чай­ном вы­бо­ре места пас­са­жи­ру В. до­ста­нет­ся удоб­ное место, если всего в самолёте 100 мест.
  11. У Дины в ко­пил­ке лежит 7 рублёвых, 5 двух­рублёвых, 6 пя­ти­рублёвых и 2 де­ся­ти­рублёвых мо­не­ты. Дина на­у­гад достаёт из ко­пил­ки одну мо­не­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ­остав­ша­я­ся в ко­пил­ке сумма со­ста­вит менее 60 руб­лей.
  12. На эк­за­ме­не 40 во­про­сов. Дима не вы­учил 6 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.
  13. На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 3 уче­ных из Гол­лан­дии, 2 из Ис­па­нии и 3 из Бол­га­рии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что тре­тьим ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Ис­па­нии.
  14. Чтобы выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 4 очка в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 3 очка, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,3.
  15. В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют три­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­сту­пит исход РОР (в пер­вый и тре­тий разы вы­па­да­ет решка, во вто­рой — орёл).
  16. На олим­пиа­де по рус­ско­му языку 250 участ­ни­ков раз­ме­сти­ли в трёх ауди­то­ри­ях. В пер­вых двух уда­лось раз­ме­стить по 120 че­ло­век, остав­ших­ся пе­ре­ве­ли в за­пас­ную ауди­то­рию в дру­гом кор­пу­се. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный участ­ник писал олим­пи­а­ду в за­пас­ной ауди­то­рии.
  17. Перед началом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Химик» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Химик» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.
  18. На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ник от­ве­ча­ет на один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.
  19. В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют че­ты­ре­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что решка вы­па­дет ровно два раза.
  20. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98? В от­ве­те ука­жи­те наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое ко­ли­че­ство вы­стре­лов.
  21. Если шах­ма­тист А. иг­ра­ет бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у шах­ма­ти­ста Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,5. Если А. иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Шах­ма­ти­сты А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, причём во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.
  22. За круг­лый стол на 9 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 7 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.
  23. В урне 3 белых, 2 черных шарика. Наудачу вынимают 3 шарика. Найти вероятность того, что среди них ровно 2 белых шарика.
  24. tv77Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G.
  25. В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.
  26. В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­вую 9 спортс­ме­нов из Ве­ли­ко­бри­та­нии, 3 спортс­ме­на из Фран­ции, 4 спортс­ме­на из Гер­ма­нии и 9 — из Ита­лии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, вы­сту­па­ю­щий по­след­ним, ока­жет­ся из Гер­ма­нии.
  27. Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет кепки. В сред­нем 7 кепок из 50 имеют скры­тые де­фек­ты. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная кепка ока­жет­ся без де­фек­тов.