Home » ЕГЭ » 3 задачи на целые числа

3 задачи на целые числа

Рассмотрим 3 задачи на целые числа, которые встречаются в базовом егэ по математике.

1. Задача о кушающих детях

За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем 5/16 от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более 2/5 от общего числа детей, евших конфеты.

а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?

Решение. а) Да, возможно. Надо взять 5 мальчиков, которые ели только бутерброды, 8 мальчиков, которые ели только конфеты, и 12 девочек, каждая из которых ела конфеты и бутерброды. Принцип подбора – надо максимально взять количество девочек, евших и конфеты, и бутерброды, а мальчиков, евших и конфеты, и бутерброды не должно быть.

б) В предыдущем пункте мы показали, что 13 мальчиков может быть. Покажем, что больше не может быть. Предположим, что мальчиков было 14 или больше. Тогда девочек – 11 или меньше. Пусть число мальчиков, которые ели бутерброды, равно n. Тогда минимальная доля мальчиков будет n/(n+11) и она должна быть не больше 5/16. Получили неравенство n/(n+11)<=5/16, откуда находим, что n<=5.

Аналогично n/(n+11)<=2/5, откуда n<=7. Т.е. в сумме не более 12. А по условию было 13. Противоречие, значит 13 – максимальное число мальчиков.

в) Для оценки наименьшей доли девочек можно считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды.

Пусть мальчиков, которые ели только конфеты, было n1, мальчиков, которые ели только бутерброды, было n2. Пусть девочек было m. Они ели и конфеты, и бутерброды.

По условию n1/(n1+m)<=5/16, n2/(n2+m)<=2/3. Отсюда доля девочек:

m/(n1+n2+m)>=33/70.

Доля 33/70 достигается, если взять n1=15, n2=22, m=33.

Ответ. а) Да б) 13 в) 33/70

2. О возрастающих прогрессиях

Возрастающие ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии a1, a2,…, an, … и b1, b2, …, bn,… со­сто­ят из на­ту­раль­ных чисел.

а) Су­ще­ству­ют ли такие прогрессии, для ко­то­рых a1b1+a3b3=3a2b2?

б) Су­ще­ству­ют ли такие прогрессии, для ко­то­рых a1b1+2a4b4=3a3b3?

в) Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать про­из­ве­де­ние a3b3, если a1b1+2a4b4<=300?

Указание. В первом пункте преобразовать через первые члены и разности. Во втором опять выразить и все получится. В третьем учесть правильное соотношение из пункта 2 (во втором должно быть 6 в конце).

Ответ. а) Да б) Нет в) 98

3. Геометрическая прогрессия в диапазоне.

Все члены гео­мет­ри­че­ской прогрессии — раз­лич­ные натуральные числа, за­клю­чен­ные между чис­ла­ми 210 и 350.

а) может ли такая про­грес­сия состоять из че­ты­рех членов?

б) может ли такая про­грес­сия состоять из пяти членов?

Решение. а) Да, b1=216, q=7/6.

б) Предположим, что такая прогрессия существует. Без ограничения общности будем считать, что прогрессия возрастает.

Пусть q=m/k, где m> k – взаимно простые числа.

Тогда

210<b1<b2<...<b5=b1/k^4m^4<350

Так как m и k вза­им­но просты, b1 де­лит­ся на k^4 а значит, m^4<350 от­ку­да m<=4. Отсюда k<=3. Т.е. q>=4/3. Значит b5>=210*(4/3)^4>350.

Ответ. а) Да б) нет


Leave a comment

Ваш email не будет опубликован.

Вы можете использовать это HTMLтеги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>