Home » Articles posted by Andrew

Author Archives: Andrew

Образовательные онлайн сервисы

Рассмотрим математический портал webmath. Не смотря на название, на сайте приведена информация не только по математике, но и по физике, русскому языку и т.д. Но все же упор сделан на математику. (ещё…)

Гаусс, Гильберт, Дазе

Предлагаю ознакомится вам с немецкими математиками.

Гаусс, Карл Фридрих (1777-1855)

выдающийся немецкий математик, астроном и геодезист

Родился в городе Брауншвейге в семье бедного ремесленника. Благодаря своим необычайным способностям и покровительству герцога Брауншвейгского К. Гаусс получил отличное образование. Он закончил Екатерининскую гимназию и Геттингенский университет, в котором впоследствии возглавлял кафедру математики (ещё…)

гиа по математике – 26-е задачи

Я предлагаю вам ознакомится с решением 26 задачи части С из гиа по математике на тему: Комбинация многоугольников и окружностей

№1.

Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

get_file (1)

Решение:

1) Возьмем Ох за центр данной окружности. Q – это центр окружности вписанной в треугольник ABC.

2) AC делится пополам точкой касания M. AQ и AO – биссектрисы смежных углов, а значит угол OAQ прямой.

3) Из прямоугольного треугольника OAQ получим AM^2=MQ x MO.

4) Значит, QM=AM^2/OM=36/8=4.5

Ответ: 4.5

 

 №2.

Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённые из точек B и C, про­дол­жи­ли до пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной окруж­но­стью в точ­ках B1 и C1. Ока­за­лось, что от­ре­зок B1C1 про­хо­дит через центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол BAC.

Решение:

get_file

1) Отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности, значит B1C1 является диаметром.

2) Углы BB1C, CC1B и CAB – вписанные и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.

3) Прямоугольный треугольник B1OC. В нем угол B1OC=90 градусов – угол BB1C.

4) Прямоугольный треугольник LCO. В нем угол LCO=90 градусов- угол B1OC и равен углу BB1C  и углу BAC.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник CAM. Углы BAC и ACC1 равны, а значит угол BAC= углу ACC1=90 градусов/2=45 градусов.

Ответ: 45 градусов.

№3.

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 14, SQ = 4 .

Решение:

get_file (1)

1) По­сколь­ку угол QPS = углу QPM = углу MNQ = углу QNP , а тре­уголь­ник PQS по­до­бен тре­уголь­ни­ку NQP по двум углам, потому что у них угол при вер­ши­не Q общий.

2) Следовательно QS/PQ=PQ/QN. Возьмем NS за х. Тогда 4/14=14/x+4

3) Получаем, что х=45

Ответ:45

 

 

 

 

 

 

 

Подборка задач №25 из ГИА

Подборка задач №25 из ГИА.

1.На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

 Новый точечный рисунокРешение:

1) BD=BE по условию, значит треугольник BDE – равнобедренный.

2) Возьмем за х угол при основании треугольника ABC, тогда получим что угол BEC= равен углу BDA и равен 180-х.

3) Треугольник BEC равен треугольнику BDA по двум сторонам и углу между ними, значит AB=BE и треугольник ABC- равнобедренный.

2. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­кеABCточки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­сто­рон­ний.

Новый точечный рисунок (2)Решение:

1) Точки M, N, K  являются серединами сторон треугольника ABC , который равносторонний. Из этого следует, что от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны.

2) В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, значит тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними.

3) Тогда MN=MK=KN, зна­чит тре­уголь­ник MNK- рав­но­сто­рон­ний.

 3.В па­рал­ле­ло­грам­меABCDпро­ве­де­ны вы­со­ты BE и BF. До­ка­жи­те, что треугольник ABC по­до­бен треугольнику CBF.

Новый точечный рисунок (3)Решение:

1) В треугольниках ABC и CBF угол А равен углу С, как противоположные углы параллелограмма.

2) Угол BEA равен углу CFB, как прямые углы.

3) Зна­чит тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Бернулли,Колмогоров,Петерсон

Петерсон Карл Михайлович (1828-1881)
Ученик Миндинга, один из учредителей Московского математического общества. Петерсон внес важный вклад в развитие дифференциальной геометрии. Его работы опережали (ещё…)

Подборка задач №22 из Гиа

Предлагаем вашему вниманию задачи ГИА на движение по воде.korablik

Задача №1.

Из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный ниже по те­че­нию реки, от­пра­вил­ся плот. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из пунк­та В вышел катер. Встре­тив плот, катер сразу по­вер­нул и по­плыл назад. Какую часть пути от А до В прой­дет плот к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В, если ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде вчет­ве­ро боль­ше ско­ро­сти те­че­ния реки?

Решение:

1) Возьмем скорость течения реки и плота соответственно за х км/ч. Значит, скорость катера против течения будет равна 4х-х=3х, а по течению 4х+х=5х

2) Получается, что скорость катера против течения в три раза больше скорости плота, а по течению в пять раз больше скорости плота.

3) Если плот до встречи проплыл S км, то катер проплыл в три раза больше, то есть 3S км.

4) Всего плот пройдет S+3S/5=8S/5

5) Получаем отношение пройденного пути плотом равно 8S/5/4S=0.4

Ответ: плот прой­дет 0.4 всего пути.

Задача №2.

Ры­бо­лов в 5 часов утра на мо­тор­ной лодке от­пра­вил­ся от при­ста­ни про­тив те­че­ния реки, через не­ко­то­рое время бро­сил якорь, 2 часа ловил рыбу и вер­нул­ся об­рат­но в 10 часов утра того же дня. На какое рас­сто­я­ние от при­ста­ни он от­да­лил­ся, если ско­рость реки равна 2 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 6 км/ч?

Решение:

1) Возьмем расстояние, которое нам надо найти за х.

2) Скорость лодки против течения реки равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч

3) Время, за которое лодка доплывет от места отправления до места прибытия и обратно, равно х/4+х/8 часа.

4) Время равно три часа. Составим уравнение :

х/4+х/8=3 |х8

2х+х=24

3х=24 х=8

Ответ: 8 Км.

Задача№3.

Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 2 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 6 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 6 км/ч?

Решение:

1) Возьмем расстояние, которое от лагеря отплыли туристы за S км.

2) Мы знаем, что течение реки равно 3км/ч, а скорость лодки – 6 км/ч, найдем, что время, за которое они проплыли туда и обратно, составляет S/6-3+S/6+3 часов.

3) Учи­ты­вая, что они были на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лись через 6 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить урав­не­ние:

S/3+S/9+2=6 | х9

S=9

Ответ:9км