[Разложение многочленов на множители]
Определение. Функция вида f(x)=an+an-2x2+an-1x1+…+a0xn, где ai -константы, называется многочленом (полиномом).
Примеры многочленов. x3+4x2-1, 2x2+5x-6.
При решении уравнений вида f(x)=0, где f(x) – многочлен степени n>2 , удобно пользоваться методом разложения многочленов на множители. Данный метод основывается на известной теореме Безу:
Если x0 – корень многочлена f(x), то найдется многочлен g(x) такой, что f(x)=(x-x0)g(x).
Важным является следующее следствие из этой теоремы:
Если x1, x2, …, xn – корни многочлена f(x) степени n с коэффициентом a0 при старшей степени, то f(x)=a0(x-x1)*(x-x2)*…*(x-xn).
На основании теоремы Безу получается следующий алгоритм решения алгебраических уравнений
- Находится один из корней уравнения f(x)=0. Замечено, что в случае, если требуется найти решение уравнения с многочленом степени 3 и выше, то в большинстве случаев один из корней находится просо подбором. Причем в первую очередь ищутся корни среди делителей свободного члена. Пусть одним из корней будет число x1.
- Делится многочлен f(x) на (x-x1), в результате получим новый многочлен g(x) степени n-1. Если g(x) – многочлен 2-й степени, то решаем обычное квадратное уравнение, иначе переходим на пункт 1. И ищем корни до тех пор, пока не найдем все корни.
Пример. Разложить на множители многочлен 2x4-5x2+3x2+x-1.
Решение. Заметим, что x=1 – корень кратности 3. Еще одним корнем будет число 0,5. Поэтому
2x4-5x2+3x2+x-1=2(x-1)3(x-0,5)=(x-1)3(2x-1).
Хотите купить видеокарту, но не знаете стоимость? Воспользуйтесь сервисом, которой покажет их стоимость в различных компаниях.
(x-1)3
Статьи, связанные с данной:
Метод разложения многочленов на множители позволяет эффективно находить корни уравнений. Поиск корней среди делителей свободного члена является ключевым шагом в алгоритме решения алгебраических уравнений.