Пример 1. Решите в целых числах уравнение 3n+8=x2.
Решение. Первое решение сразу видно :
n=0, x=3.
Далее надо показать, что при n>0 целых корней нет. Для этого запишем уравнение в следующем виде:
3n+9=x2+1.
Обратим внимание, что выражение слева делится на 3. Покажем, что при x>3 выражение слева не будет делиться на 3. Возможны три варианта значений x:
- x делится на 3, тогда x=3k;
- x делится на 3 c остатком 1, тогда x=3k+1;
- x делится на 3 c остатком 2, тогда x=3k+2.
Здесь учтено, что k>1. Подставим эти выражения в правую часть уравнения 3n+9=x2+1.
- x2+1=(3k)2+1=9k2+1 не делится на 3.
- x2+1=(3k+1)2+1=9k2+6k+2 не делится на 3.
- x2+1=(3k+2)2+1=9k2+12k+5 не делится на 3.
Таким образом получаем, что единственное решение возможно при n=0, x=3.
Ответ. n=0, x=3.
Пример 2. Учитель пишет примеры на сложение трех натуральных чисел так, чтобы во всех примерах ответ был один и тот же N, при этом он хочет, чтобы все слагаемые во всех примерах ( даже в различных примерах ) были различны.
а) Можно ли написать два таких примера, если N =14?
б) Можно ли написать 7 таких примеров, если N=51?
в) Можно ли написать 13 таких примеров, если N=51?
Решение. а) Да, можно. Например так:
1+2+11=14
3+4+7=14
б) Также можно, например так:
1+2+48=51
3+4+44=51
5+6+40=51
7+8+36=51
9+10+32=51
11+12+28=51
13+14+24=51
в) Нет, нельзя. Для записи 13 примеров необходимо использовать 13*3=39 чисел. Вычислим минимальную сумму разных 39 чисел – это сумма чисел от 1 до 39, которая может быть вычислена как сумма членов арифметической прогрессии:
При этом необходим написать 13 примеров, общая сумма которых равна 13*51=663. Таким образом мы не можем записать 13 таких примеров, потому что сумма использованных 39 чисел больше необходимой суммы.
Ответ: а) да, б) да, в) нет.
При решении уравнений в целых числах полезно использовать некоторые факты из теории чисел.
Связанные статьи
Задание №16 егэ по математике на проценты
Задачи повышенной сложности. Окружность и круг
Стереометрия. Разные задачи №1
Теория вероятностей в ЕГЭ
Сравните значения
Решение заданий С1 ЕГЭ по математике
Рекомендую прочесть статьи, связанные с данной:
- Несколько задач на целые числа
- Некоторые факты из теории чисел
Данное уравнение 3n+8=x^2 решается в целых числах, и первым решением является n=0, x=3. Далее, доказывается отсутствие целых корней при n>0 путем преобразования уравнения 3n+9=x^2+1. Показано, что при x>3 выражение слева не делится на 3, рассмотрены три варианта значений x (x=3k, x=3k+1, x=3k+2), и проведена подстановка этих выражений в правую часть уравнения 3n+9=x^2+1, что позволяет установить отсутствие целых корней при n>0.