Задачи повышенной сложности. Треугольник

1. В остроугольном треугольнике ABC высота AD, медиана BE и биссектриса CF пересекаются в точке O. Найти угол C, если OE=2OC. Ответ: arccos(1/7).
2. В треугольнике ABC сторона AB=3, высота CD, опущенная на сторону AB, равна 3. Основание D высоты CD лежит на стороне AB, длина отрезка AD равна длине стороны BC. Найти длину стороны AC. Ответ: 3√2
3. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC - точка N. Отрезки AN и BM пересекаются в точке O . Найти площадь треугольника CMN, если площади треугольников AMO, ABO, BNO равны соответственно S₁, S₂, S₃. Ответ: S₁ S₃(S₁+ S₂)(S₂+ S₃)/S_2/(S₂S_2- S₁S₃).
4. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части. Найти отношение BC:CA:AB. Ответ: 5:10:13. Воспользоваться тем, что квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
5. Известно, что точки K и L лежат соответственно на сторонах AB и BC треугольника ABC, а точка O – точка пересечения AL и KC. Известно, что площади треугольников AOK и COL равны соответственно 1 и 8, а треугольник AOC и четырехугольник BKOL равновелики. Найти площадь треугольника AOC. Ответ: 6.
6. В треугольнике ABC известны: стороны AB=c, CA=b и угол A, образованный этими сторонами. Определить высоту, биссектрису и медиану, проведенные из вершины A. Ответ:
7. В треугольнике ABC медиана, биссектриса и высота, опущенные из вершины C, равны соответственно 6, 5 и 2 дециметрам. Найти длину стороны AB.
   Приведем подробное решение этой задачи.

Использованная литература

1. 3000 конкурсных задач по математике. М.: Рольф, 2000. 624 с.

2. Беляева Н.А., Ермоленко А.В. Математика. Методическое руководство и контрольные задания / Сыктывкарский университет. Сыктывкар, 2003. 51 с.