Решение задач C6 (Часть 3. Дробно-рациональные и иррациональные уравнения)

Данная статья является продолжение статей по решению задач класса C6.

5. Дробно-рациональные уравнения

5.1. Решите в натуральных числах уравнение

1/x+1/y+1/z=1

Решение. Поскольку неизвестные x, y, z входят в уравнение симметрично, то можно считать, что x ≤ y ≤ z. Остальные решения получатся перестановками неизвестных. Поэтому 1=1/x+1/y+1/z ≤3/x, т.е. x ≤ 3. Далее просто перебираем…

Ответ: (3;3;3); (2;4;4); (4;2;4); (4;4;2); (2;3;6); (2;6;3); (3;2;6); (3;6;2); (6;2;3); (6;3;2).

5.2. Решите в натуральных числах уравнение

1/x+1/y=1/2.
Указание. Выразите из уравнения у и исследуйте полученную функцию.

Ответ: (4;4); (6;3); (3;6).

5.3. Найдите все пары натуральных чисел разной четности, удовлетворяющие уравнению

1/n+1/m=1/12.

Ответ: (13;156); (15;60);(21;28), (156;13); (60;15); (28;21).

6. Иррациональные уравнения

6.1. Решите в целых числах уравнение √x + √y = √98.

Решение. Из уравнения видно, что 0 ≤ x ≤ 98, 0 ≤ y ≤ 98. Представим уравнение в виде
√y =√98 − √x и возведем обе части уравнения в квадрат:
y = 98 + x − 2 √98x, y = 98 + x −14 √2x.
Отсюда 2x = 4a², x = 2a², где а – целое неотрицательное число. Так как
x ≤ 98, то
2a² ≤ 98, a² ≤ 49, 0 ≤ a ≤ 7.
Для каждого из значений а получаем значения х, и затем значения у.
Ответ: (0;98); (2;72);(8;50);(18;32); (32;18);(50;8);(72;2); (98;0).