Решение некоторых задач Дополнительного занятия №1 (6-й класс)

В статье “Дополнительное занятие №1 (6-й класс)” были приведены 18 задач. Приведу решение или указания на решения  некоторых из них, считая, что остальные задачи надо все-таки решить самостоятельно.

1. Разделите прямоугольник размером 18 * 8 на части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Указание. 18=2*3*3, 8=2*2*2. Поэтому 18*8=2⁴*3². Поэтому сторона квадрата должна быть равна 2*2*3=12.

2. Делится ли число 111….111 (999 единиц) на 37?

Указание. Попробуйте разделить на 37 числа 11, 111, 1111, 11111, 111111, … Усмотрите закономерность.

3. На какую цифру оканчивается число 3¹⁰⁰ ?

Указание. Определите последние цифры 1-й, 2-й, 3-й и т.д. степеней. Ксмотрите закономерность.

4. На часах 19ч 15 мин. Чему равен угол между минутной и часовой стрелкой?

Решение. За 15 минут минутная стрелка проходит 90 градусов. Часовая стрелка за 15 минут перемещается на 360*1/12*1/4=7,5 градусов. При этом 19 часов соответствует 7*360*1/12=210 градусам. Поэтому угол между стрелками равен 210+7,5-90=127,5 градусов. Ответ: 127,5 градусов.

5. Три пятницы некоторого месяца пришлись на чётные даты. Какой день недели был 18-го числа этого месяца?

Указание. Заметим, что если на этой неделе пятница – это четная дата, то на следующей неделе пятница – это нечетная дата. С учетом сказанного 3 пятницы приходятся на четные даты, только если этот месяц содержит 5 пятниц.

6. Юра взял книгу на 3 дня. В первый день он      прочитал половину книги, во второй- треть оставшихся страниц, а количество страниц, прочитанных в третий день, равно половине страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Юра прочитать  книгу за 3 дня?

Решение. В первый день прочитал 1/2 книги, во второй – 1/2*1/3=1/6, в третий – (1/2+1/6)*1/2=1/3. Таким образом за три дня прочитано 1/2+1/6+1/3=1 книга. Ответ: книга прочитана ровно за 3 дня.

7. Среди музыкантов каждый седьмой шахматист, а среди шахматистов каждый девятый музыкант. Кого больше: музыкантов или шахматистов? Почему?

Указание. Обозначить за х людей, являющихся и музыкантами, и шахматистами одновременно.

8. Пять учеников купили 100 тетрадей. Коля и Вася купили 52 тетради, Вася и Юра- 43, Юра и Саша- 34, Саша и Сережа- 30. Сколько тетрадей купил каждый из них?

Указание. Пусть Коля купил х тетрадей, тогда Вася купил 52-х тетрадей, Юра – 43-(52-х)=х-9 и т.д. Затем выражения через х для каждого школьника сложить и приравнять к 100.

9. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли в этой школе класс, в котором не менее 35 учеников?

Решение. Допустим, что в каждом классе не более 34 человек. Тогда максимальное количество школьников составляет 33*34=1122 человека, но у нас 1159 учеников. Значит наше предположение не верно и существует по крайней мере один класс, в котором не менее 35 учеников.