Задачи на использование подобия треугольников

При подготовке к ЕГЭ по математике наиболее сложными являются задачи по геометрии – C4. Причем это задачи по планиметрии. Для успешного их решения надо, чтобы у абитуриента была очень хорошая база по простым задачам. Но чтобы уметь быстро и хорошо решать, надо много решать. Я уже ранее приводил список простых задач по использованию подобных треугольников.

Приведу условия подобия двух треугольников. Два треугольника подобны, если…

1.  равны их углы.

2. пропорциональны все стороны.

3. две стороны пропорциональны, а углы между ними равны.

При формулировке 3-го условия всегда возникает вопрос “А подобны ли треугольники, если пропорциональны две стороны и равен один из углов?”. Приведите пример, когда данное условие не выполняется.

Теперь привожу подборку чуть более сложных задач.

В скобках указаны ответы к задачам и иногда решения задач.

1. В прямоугольном ΔABC к гипотенузе AC проведена высота BD, BC = 2 см, AD = 3 см. Найдите DC, BD, AB. [DC = 1см, BD = 3 см, AB= 2 3 см. Для решения можно воспользоваться подобием ΔCDB и ΔBDA, а также теоремой Пифагора]

2. Треугольники ABC и MNK подобны. Их сходственные стороны относятся как 8:5. Площадь ΔABC больше площади ΔMNK на 25 см². Найдите площади треугольников. [Указание. Учесть, что если стороны относятся ка 8:5, то квадраты относятся как 64:25. Ответ: 16 см² и 41 см² ]

3. Основания трапеции равны 8 см и 12 см. Боковые стороны, равные 4,5 см и 5,2 см, продолжены до пересечения в точке M. Найдите расстояния от точки M до концов меньшего основания.
Решение. Пусть x, y – неизвестные расстояния, тогда находим из пропорций x:(x+4,5)=8:12 и y:(y+5,2)=8:12. [9 см и 10,4 см]

4. В прямоугольном треугольнике с углом 30°и меньшим катетом 6 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.
Решение. Используя тангенсы, найти второй катет. Далее учесть, что площадь неизвестного треугольника в 4 раза меньше площади исходного. [9 + 3 см]

5. На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4 см, BE = 8 см, DE = 12 см.
а) Найдите отношение площадей ΔDBE и ΔADP. [4]
б) Докажите, что DE и AC параллельны.

6. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O так, что OC = 5 см, OB = 6 см, OA = 15 см, OD = 18 см.
а) Найдите отношение площадей ΔAOD и ΔBOC.[9]
б) Докажите, что четырехугольник ABCD – трапеция.

7. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, относятся как 2 : 4. Чему равна меньшая сторона параллелограмма, если периметр равен 90 см? [15 см]

8. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5 см и 6 см. Разность площадей этих треугольников составляет 22 см2. Чему равна площадь меньшего треугольника? Указание. Учесть решение задачи 2. [50 см2]

9. Катеты прямоугольного ΔABC равны 5 см и 12 см. К гипотенузе в ее середине восставлен перпендикуляр OD, пересекающий продолжение меньшего катета в точке D. Чему равна длина отрезка CD?[11,9 см]

10. В прямоугольном ΔABC с прямым углом C проведен перпендикуляр CD. Чему равна гипотенуза треугольника ABC, если CD = 6 см, AD = 4,5 см? [12,5 см]

Задачи взяты из журнала 1 сентября. Хотя многие из этих задач уже имеются на различных сайтах.