Задачи для конкурса Кенгуру (5-6 класс)

В статье Подборка задач для конкурса Кенгуру мы уже разбирали 5 задач. Теперь рассмотрим еще задачи, оцениваемые в 5 баллов.

1. У Тани в коробке 9 карандашей. Как минимум один из них синего цвета. Среди каждых 4 карандашей как минимум два – одинакового цвета, а среди каждых пяти не более трёх одинакового цвета. Сколько синих карандашей у Тани в коробке?

А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д: Невозможно определить

Решение. Допустим, что всего цветов 4. Тогда может оказаться, что при выборе 4-х карандашей мы возьмем 4 разных, тогда условие, что среди 4-х есть всегда 2 одинаковых будет нарушено. Поэтому максимум цветов 3. Но при этом из второго условия получаем, что каждого карандашей каждого цвета 3. Тогда у Тани ровно по три карандаша одинакового цвета.

Ответ. В (3)

2. На счётчике пробега моей машины сейчас показано число 187369 (км). В этом числе все цифры различны. Какое наименьшее количество километров нужно проехать, чтобы на счётчике опять появилось число, у которого все цифры различны?

А:1; Б:21; В:431; Г:12431; Д:13776

Решение. Данную задачу можно решить просто перебором. Для этого последовательно добавляем к числу 187369 числа, начиная с маленького:

187369+1=187370  нет

187369+21=187390 – да.

Ответ. Б (21)

3. Мама попросила маленького Ваню рассортировать парами его носки после стирки. Но он бросил носки в комод, не сортируя. Там было 5 пар чёрных, 10 пар коричневых и 15 пар серых носков. Ваня собирается пойти в поход на 7 дней. Какое минимальное количество носок ему нужно вытащить из комода, чтобы среди них наверняка оказались 7 пар одного цвета?

А: 21;Б:31; В: 37; Г: 40; Д: 41

Решение. Чтобы гарантировано взять одну пару носков надо взять 31 носок. 30 мало, так как может оказаться 15 серых носков и 15 другого цвета. Как только Ваня возьмет еще один носок то будет по крайней мере одна пара. И каждый следующий носок будет парой к какому-нибудь носку. Таким образом надо вытащить тридцать семь носков, тогда среди них будет семь пар одного цвета.

Ответ: В (37).

4. У Полы и Билла вместе 18 гривен, у Билла и Джона – 12 гривен. У Джона и Марии – 10 гривен. Сколько гривен у Марии и Полы?

А: 16; Б: 20; В: 24; Г: 25; Д: 48;

Решение. Деньги Пола и Билла сложили с деньгами Джона и Марии, и надо отнять от результата деньги Билла и Джона. Выходит: 18+10-12=16 (грн)

Ответ. А (16)