Несколько задач на целые числа

Целые числа

В последнее время при проведении ЕГЭ используются задания С6, в которых не редко школьники должны продемонстрировать нестандартную работу с целыми числами. Также эти задачи могут использоваться при проведении олимпиад по математике различного уровня.

Рассмотрим несколько задач, приведенные в сборнике “Задачи для школьных математических кружков ” (Сыктывкар, 1994, авторы: И.И.Баженов, А.Г.Порошкин, А.Ю.Тимофеев, В.Д.Яковлев).

В приведенных ниже задачах необходимо представить числа в виде комбинаций неизвестных цифр, а затем использовать метод перебора. И вообще метод перебора – основной метод при решении задач С6.

Пример. Укажите все четырехзначные числа, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в пять раз.

Решение. Обозначим через x первую цифру, а через y – оставшуюся часть четырехзначного числа. При этом очевидно, что x, y должны удовлетворять следующим естественным условиям:

1 ≤ x ≤9, 0≤y≤999.

При этом само число имеет вид: 1000*x+y. Используя условие задачи получаем следующее соотношение:

1000x+y=5y → 250x=y.

Далее перебираем возможные значения x, получаем, что решением могут быть числа 1250, 2500, 3750.

Ответ: 1250, 2500, 3750.

Решите самостоятельно:

1. Какие натуральные числа уменьшаются в 13 раз при зачеркивании последней цифры. Ответ: 13, 26, 39.

2. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой нулей и цифрой десятков вставить нуль. Ответ: 45.

3. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести на первое место, то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального числа. Найдите это число. Ответ: 103.

4. Найдите 4-хзначное число, которое в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке. Ответ: 2178.