Для Алины 26-я задача гиа

По просьбе племянницы Алины рассмотрим одну задачу гиа по математике:

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=40, AC=64. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найти CD.

Решение.

Хочу обратить внимание на то, что в условии не сказано про взаимное расположение сторон. Это позволяет предположить, что какой бы не был угол A, ответ должен быть один и тот же. Поэтому рекомендую сначала решить задачу для более простого случая, чтобы узнать ответ и затем попробовать обобщить.В связи с этим удобно рассмотреть прямоугольный треугольник, показанный на первом рисунке. В этом случае практически очевидно, что треугольники ABD и ACB подобны по трем углам. Если возникают в этом сомнения, напишите в комментариях.

Обозначим через x длину отрезка DC. Учитывая подобие, получаем следующую пропорцию:

или 

 Решая последнее уравнение, получим CD=39.

Итак, ожидаемый ответ – 39. Кроме этого понятен ход рассуждений, т.е. надо показать что треугольники ABD и ACB подобны по трем углам и в общем случае. Для этого рассмотрим второй рисунок.

Покажем, что треугольники ABD и ACB подобны по трем углам.

Во-первых, угол BAC – общий.

Треугольник ABE – равнобедренный (покажите самостоятельно). Тогда получаем, что углы ACB и ABE равны как опирающиеся на одинаковые дуги. А угол ABE равен углу ABD. Поэтому треугольники подобны. Поэтому верно соотношение, выписанное выше. Поэтому DC=39.

На сайте пятерка.ру  можно заказать курсовые, контрольные, дипломные работы из любого города России как по юридическим и экономическим наукам, так и по истории.