Определение расстояний и углов координатным методом

При решении задач C2 и C4 единого государственного экзамена по математике полезным является использование координатного метода. Данный метод практически не используется в средней школе, но его использование существенно упрощает решение сложных геометрических задач, причем как из раздела планиметрия, так и стереометрия.

Рассмотрим в данной статье, как можно определять расстояние между точкой и прямой в пространстве, угол между скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между точкой и прямой в пространстве (на плоскости). Подход в обоих случаях одинаковый, поэтому я не акцентирую внимание на количество координат.

Дана прямая l и точка A, лежащая вне прямой. Требуется определить расстояние от точки A до прямой l.

Для этого на прямой l отметим точки B, C. При этом вводим систему координат, в которой точки A, B,C имеют удобные координаты. Далее используя координаты точек, находим длины сторон треугольника ABC. Затем по формуле Герона находим площадь треугольника и учитывая, что с другой стороны площадь можно найти по формуле , где h – высота и заодно и необходимое расстояние, находим

Углы между прямыми. Приведенным ниже способом можно находить угол как между двумя прямыми на плоскости, так и между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Для этого вводим пространственную (или на плоскости) систему координат. Отмечаем на прямой l1 произвольные точки A, B, а на прямой l2 – D и C.

Точки желательно выбирать таким образом, чтобы можно было легко определить их координаты.

И затем получаем два направляющих вектора AB, DC. Далее работаем непосредственно с векторами, учитывая, что угол между прямыми и есть угол между направляющими векторами. Косинус угла находим из формулы для вычисления скалярного произведения. А именно:

Скалярное произведение в левой части вычисляется как сумма произведений соответствующих координат.