Олимпиадные задачи. 10-й класс

Олимпиадные задачи для 10 класса

1. Даны натуральные числа M и N, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что M=3N. Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к кажой из остальных прибавить по нечетной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число N? Найдите все возможные варианты.

2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и СС1. Окружность, описанная около треугольника ABC, пересекает прямую A1C1 в точках A’ и C’. Касательные к окружности, проведенные в точках A’ и C’, пересекаются в точке B’. Докажите, что прямая BB’ проходит через центр окружности.

3. Даны тре квадратных трехчлена P(x), Q(x), R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трехчлена R(x) в многочлен P(x)+Q(x) получаются равные значения. Аналогично, при подстановке корней трехчлена P(x) в многочлен Q(x)+R(x) получаются равные значения. Также при подстановке корней многочлена Q(x) в многочлен P(x)+R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трехчлена P(x), сумма корней трехчлена Q(x), сумма корней трехчлена R(x) равны между собой.

4. Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные множества A1, A2, A3,… так, чтобы при любом натуральном числе r сумма всех чисел, входящих в подмножество Ak, равнялось k+2013?

 5. Тридцать девочек – 13 в красных платьях и 17 в синих – водили хоровод вокруг новогодней елки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли ее соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно.

6. Натуральные числа a, b и c, где c>=2, таковы что . Докажите, что хотя бы одно из двух чисел a+c, b+c – составное.

7. На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих ее на равные части. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовем расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между этими точками. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удаленными не более, чем на n, увеличилось?

Решение задач приведу в более поздних заметках.