егэ по математике – 2 задачи об окружностях

Традиционно наиболее сложными в егэ по математике являются геометрические задачи. В настоящее время это задачи под номер 16. Рассмотрим в данной статье 2 геометрические задачи, связанные с окружностями. Напомню, что традиционно данная задача имеет два решения – иногда оба решения находятся при использовании уравнение, в иных случаях надо проводить дополнительное построение.

Пример 1.  Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

Решение. Сделаем обозначение:

R1 – радиус первой окружности,
R2 – радиус второй (большей) окружности,
R – радиус третьей окружности,

а) О1О2=R2-R1,
O2O3=R2-R,
O1O3=R1+R.

Тогда периметр треугольника O1O2O3 находится так:

O1O2+O2O3+O1O3=R2-R1+R2-R+R1+R=2R2, т.е. это и есть диаметр большей окружности.

б) Обозначим через x величину HO2.

Из прямоугольного треугольника HO2O3 получаем по теореме Пифагора соотношение:

R²+x²=(4-R)².

Из прямоугольного треугольника HO1O3 получаем по теореме Пифагора соотношение:

R²+(4-1-x)²=(R+1)².

Решая систему уравнений

R²+x²=(4-R)²,
R²+(3-x)²=(R+1)².

получаем два решения:

x=4, R=0,
x=0,8, R=1,92.

Первая пара нам не подходит, поэтому R=1,92.

Ответ: R=1,92.

Пример 2. Дан выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами AB=3, BC=CD=5, AD=8 и диагональю AC=7.
а) Докажите, что около него можно описать окружность.
б) Найдите диагональ BD.

Решение.

а) Признаком того, что около четырехугольника можно описать окружность является то, что сумма противоположных углов должна равняться 180 градусов. По теореме косинусов необходимо найти углы D и B и показать ,что их сумма равна 180 градусов. Можно показать, что один угол равен 60 градусов, другой 120 градусов.

б) Зная два угла и все стороны, по теореме косинусов находим диагональ. При этом получится, что угол ВАС равен углу САD. Поэтому надо воспользоваться формулой для синуса двойного угла. Ответ: 55/7.

P.S. В случае необходимости можно расписать все более подробно.