Подборка задач №25 из ГИА

Подборка задач №25 из ГИА.

1.На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

 Решение:

1) BD=BE по условию, значит треугольник BDE – равнобедренный.

2) Возьмем за х угол при основании треугольника ABC, тогда получим что угол BEC= равен углу BDA и равен 180-х.

3) Треугольник BEC равен треугольнику BDA по двум сторонам и углу между ними, значит AB=BE и треугольник ABC- равнобедренный.

2. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­кеABCточки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­сто­рон­ний.

Решение:

1) Точки M, N, K  являются серединами сторон треугольника ABC , который равносторонний. Из этого следует, что от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны.

2) В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, значит тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними.

3) Тогда MN=MK=KN, зна­чит тре­уголь­ник MNK- рав­но­сто­рон­ний.

 3.В па­рал­ле­ло­грам­меABCDпро­ве­де­ны вы­со­ты BE и BF. До­ка­жи­те, что треугольник ABC по­до­бен треугольнику CBF.

Решение:

1) В треугольниках ABC и CBF угол А равен углу С, как противоположные углы параллелограмма.

2) Угол BEA равен углу CFB, как прямые углы.

3) Зна­чит тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.