Подготовка к ЕГЭ 4. Квадратичная функция

При подготовке к ЕГЭ по математике следует уделять внимание квадратичным функциям. Большинство школьников умеет решать квадратные уравнения, стоить график квадратичной параболы, но как только возникает хоть небольшое усложнение,  например, добавляется модуль, школьники впадают в ступор. Поэтому надо быть готовыми к различным задачам. Привожу подборку задач, которую должен уметь решать каждый школьник.

1. Найти значение, при котором функция y=|x²-5x-6| принимает наименьшее значение.

2. При каких a выражение (a²-1)x²+2(a-1)x+2 положительно при любых x.

3. Пусть x₁,  x₂ — корни квадратного трехчлена  x²+15x+1. Запишите квадратное уравнение, корни которого равны 2x₁,  2x_2.

4. Определить число b, при котором одним из корней уравнения 8x²+(2b+1)x+2b-1=0 равен числу b.

5. Найдите все значения параметра a, при котором уравнение |x²+2x+a|=2 имеет 4 различных значения.

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению

x²+y+2|x|y^1/2=1

7. Дана функция f(x) = – x² +4|x-1| – 6,

a)       решить уравнение f(x) = – 6;

b)       решить неравенство f(x)≥-2;

c)       найти наибольшее и наименьшее значения функции y =f(x) на отрезке [-2;4];

d)       при каких значениях  a уравнение f(x) = a  имеет три решения?

8. Дано уравнение x²+7x + 2 = 0, его корни  x₁, x₂. Какой вид имеет квадратное уравнение с корнями x₁ – 2, x₂ – 2?

9. Дано уравнение x² + 2(a + 4)x – 10a – 1 = 0.

a)       При каких значениях a разность большего и меньшего корней уравнения равна 30?

b)       При каких значениях a уравнение имеет два различных отрицательных корня?

c)       При каком  сумма квадратов действительных корней уравнения будет наименьшей?

10. Найти все значения параметра a, при которых неравенство

x²-ax+a²-6a≥0

верно при всех x из отрезка [-1;1].

Если возникли вопросы при решении, задавайте вопросы здесь или на форуме, и я постараюсь помочь.

P.S. К какому заданию относится приведенный график?

Статью можно обсудить на Форуме