Разбор задач с5 егэ по математике

Рассмотрим задачи с параметрами, которые присутствуют в заданиях егэ по математике. Один из самых распространенных способов решения – построение и исследование геометрической модели.

Пример 1. Найдите все значения a , при каждом из которых функция f (x) = x2 − 2 | x − a2 | − 8x имеет более двух точек экстремума.

Решение. Выпишем выражение для функции f(x) на различных областях числовой оси.

а) при x ≥ a²   f (x) = x² −10x + 2a², поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x= 5;
б) при x ≤ a²  f (x) = x² − 6x − 2a² , т.е.  ее график – это часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x= 3.
Все варианты взаимного расположения значений 3, 5, a² показаны на рисунке ниже.

Заметим, что графики обеих квадратичных функций проходят через точку (a²; f (a² )) .

При этом функция f (x) имеет более двух точек экстремума, а именно – три, в единственном случае

3 < a²  < 5 ⇔ .
Ответ: или .

При проверке данной задачи использованы следующие критерии:

4 балла Обоснованно получен правильный ответ
3 балла Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки
2 балла Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решений условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна
1 балл Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Пример 2. Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Приведу скриншот решения из методических рекомендаций по оцениванию выполнения заданий егэ с развернутым ответом.

Критерии к этой задаче были  такие

4 балла Обоснованно получен верный ответ
3 балла С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;
– или решение недостаточно обосновано
2 балла С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
1 балл Задача сведена к исследованию:
– или взаимного расположения трёх окружностей;
– или двух квадратных уравнений с параметром
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Пример 3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение на промежутке (0;+ ∞) имеет более двух корней.

Решение. Для решения рассмотрим две функции  . График первой функции показан на рисунке красным, а g(x) представляет собой пучок прямых, проходящих через точку (0,-2).

 Тогда исходное уравнение будет иметь более двух корней, когда эти две функции будут пересекаться 3 раза и более. Три точки пересечения будут с теми прямыми, которые находятся между синей и зеленой прямыми. Найдем значения параметров a, соответствующих этим двум прямым.

Для зеленой прямой выполняется условие f(5/3)=0, откуда находим, что а=6/5.

Для синей прямой коэффициент находим из условия, что функции f(x)=ax-2 и g(x)=3-5/x пересекаются только в одной точке, это приводит к исследованию квадратного уравнения . Данное уравнение имеет единственное решение при a=5/4.

Таким образом получаем, что исходное уравнение имеет единственное решение при 6/5<a<5/4.

Критерий оценивания

4 балла Обоснованно получен правильный ответ
3 балла С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек
2 балла С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а
1 балл Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше