Математика Несколько задач по тригонометрии

Несколько задач по тригонометрии

1. Зная, что sin alpha=9/{41}, sin beta=-{40}/{41}, alpha, beta – углы второй и четвертой четвертей, соответственно, найти sin(alpha-beta), cos(alpha+beta).

Решение. Предварительно найдем cos alpha, cos beta .

$cos^2 alpha=1-sin^2 alpha={1600}/{1681}$ , далее, учитывая, что alpha – угол второй четверти, в которой косинус отрицательный, получаем cosa alpha=-{40}/{41}

Аналогично, $cos^2 beta=1-sin^2 beta={81}/{1681},$ откуда с учетом того, что угол четвертой четверти, получаем cos beta=9/{41} .

С учетом найденных значений получаем следующие цепочки преобразований.

sin(alpha-beta)=sin alpha cos beta-cos alpha sin beta={81}/{1681}-{1600}/{1681}=-{1519}/{1681}.

cos (alpha+beta)=cos alpha cos beta-sin alpha sin beta=0.

2. Упростите

а) (sin alpha+cos alpha)^2+1-sin 2 alpha

б) {tg(pi-alpha)}/{sin(pi+alpha)}{sin ({3 pi}/2+alpha)}/{tg ({3 pi}/2+alpha)}

Решение. а) (sin alpha+cos alpha)^2+1-sin 2 alpha=cos^2 alpha+2cos alpha sin alpha+sin^2 alpha+1-2 cos alpha sin alpha=2

б) {tg(pi-alpha)}/{sin(pi+alpha)}{sin ({3 pi}/2+alpha)}/{tg ({3 pi}/2+alpha)}={-tg alpha}/{-sin alpha}{cos alpha}/{-tg alpha}=-{cos alpha}/{sin alpha}=-ctg alpha

3. Докажите тождество

${2 cos^2 alpha tg alpha}/{sin^2 alpha-cos^2 alpha}=-tg 2 alpha$

Доказательство. В левой части применить форулы для синуса и косинуса двойного угла.

4. Постройте график функции y(x)=1-cos(x) . Найдите области определения и значений.

Решение. Построим график функции y=cos(x) . Чтобы получить график функции y=1-cos(x) , надо перевернуть последний и поднять его на единицу. Данные преобразования показаны на рисунке ниже.