Home » 2011 » Апрель

Monthly Archives: Апрель 2011

Стереометрия. Разные задачи №1

  1. Дан куб с основанием ABCD боковыми ребрами AA1, BB1, CC1, DD1. Длина ребра куба равна 1. Через прямую B1C проведена плоскость, пересекающая ребро AB и составляющая угол 60° с прямой A1B. В каком отношении эта плоскость делит ребро AB?
    Ответ: 1:1.
  2. Вершины куба с ребром 1 являются центрами шара одинакового радиуса. Объем части куба, расположенной вне шаров, равен ½. Какая часть ребра куба лежит вне шаров?
    Ответ: 1-(3/π)1/3 (ещё…)

Решение задач C6 (Часть 2. Уравнения высшей степени)

 

В предыдущей части мы начали изучение задач группы C6. Продолжим их рассмотрение в данной статье, поэтому я продолжу нумерацию.

4. Уравнения высшей степени

4.1. Уравнение x3 + 91 = y3 решите в целых числах.

Решение:  Записать уравнение в виде (y-x)(y2+xy+x2)=13·7. Затем показать, что второй множитель – всегда положителен, поэтому первый множитель равен 1, 7, 13 или 91. Далее надо перебрать все эти случаи.

Ответ: (5;6), (-6;-5), (-3;4), (-4;3). (ещё…)

Решение задач C6 (Часть 1. Уравнения первой, второй степени)

В статье “Некоторые факты из теории чисел” рассмотрены факты, необходимые при решение задач группы C6. В данной статье рассмотрим некоторое задачи группы C6 и их решения.

1. Квадратное уравнение

1.1. Найдите все такие целые а и b, для которых один из корней уравнения
3x3 + ax2 + bx +12 = 0 равен 1+ √2

1.2. Может ли квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 23? Ответ: не может. (ещё…)

Задачи повышенной сложности. Окружность и круг

  1. В круге проведены две взаимно перпендикулярные и пересекающиеся хорды AB и CD. Известно, что AB=AC=CD. Установить, что больше: площадь круга или площадь квадрата со стороной AB. Ответ: Площадь квадрата больше площади круга.
  2. В окружность радиусом 13 вписан четырехугольник, один из углов между диагоналями которого равен 120°. Длины диагоналей равны 10 и 24. Найти длину наибольшей стороны четырехугольника. (ещё…)

Решение задач B8-B12 демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2011

В статье “Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике на 2011-й год” сформулирован полный текст задания. В данной статье рассмотрим решение задач B8-B12.

B8. На рисунке изображен график функции y= f(x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x =3. (ещё…)

Решение задач B1-B7 демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2011

В статье “Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике на 2011-й год” сформулирован полный текст задания. В данной статье рассмотрим решение первых 7 задач.

B1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

Решение. 20% от 15 рублей составляет 3 рубля. Таким образом цена после повышения станет равной 15+3=18 рублей. Теперь 100 разделим на 18, получим 5 и 10 в остатке.  Учитывая, что число билетов – целое число, получим, что можно купить 5 билетов.

Ответ: 5. (ещё…)