Решение задач C6 (Часть 1. Уравнения первой, второй степени)

В статье “Некоторые факты из теории чисел” рассмотрены факты, необходимые при решение задач группы C6. В данной статье рассмотрим некоторое задачи группы C6 и их решения.

1. Квадратное уравнение

1.1. Найдите все такие целые а и b, для которых один из корней уравнения
3x³ + ax² + bx +12 = 0 равен 1+ √2

1.2. Может ли квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 23? Ответ: не может.

1.3. Найдите все такие целые а и b, что корни уравнения x² + (2a + 9)x + 3b + 5 = 0 являются различными целыми числами, а коэффициенты 2a + 9 и 3b + 5 – простыми числами.

Решение: Обозначим корни уравнения через m и n. По теореме Виета
mn = 3b + 5 – простое число, тогда m = ±1, n = ±(3b + 5).
Тогда 2a + 9 = ∓(3b + 6) = ∓3(b + 2). Поэтому простое число 2a + 9 = 3, откуда a = −3.
Тогда b + 2 = 1, т.е. b = −1.
Ответ: a = −3; b = −1.

2. Уравнение первой степени

2.1. Найдите все целые решения уравнения 113x +179y = 17, удовлетворяющие неравенствам x > 0, y +100 > 0.

Решение: Воспользуемся методом, сходным с алгоритмом Евклида.
Имеем 179 = 113 + 66. Перепишем уравнение в виде
113(x + y) + 66y = 17. Обозначим x + y = u, 113u + 66y = 17. Можно вновь 113 разделить на 66 с остатком, а лучше так:
113 = 2 ⋅ 66 −19. Получаем 66(2u + y) −19u = 17. Обозначим
2u + y =υ , 66υ −19u = 17, 66 = 3⋅19 + 9. Получаем уравнение
19(3υ − u) + 9υ = 17, 3υ − u = ω ; 19ω + 9υ = 17, 9(2ω +υ ) +ω = 17, 2ω +υ = t. Наконец, получаем уравнение
9t +ω = 17. Это уравнение имеет решение: ω = 17 − 9t, где t – любое целое число. Проделываем обратные действия:
υ = t − 2ω = t − 34 +18t = 19t − 34, u = 3υ −ω = 66t −119, y =υ − 2u = −113t + 204,
x = u − y = 179t − 323. Таким образом,
x = 179t − 323, y = −113t + 204, где t – любое целое число. Из условия x > 0, y > −100,  т.е. из системы

179t- 323>0

-113t+ 204>- 100

найдем t = 2,  затем x = 35; y = −22.
Ответ: x = 35; y = −22.

2.2. Решите в целых числах уравнение 79y − 23x =1. Ответ: x = 79n + 24; y = 23n + 7, где n ∈ Z.

2.3. Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3. Ответ: x = 7t −12, y = 5t − 9, где t ∈ Z.

3. Уравнения второй степени с двумя неизвестными

3.1. Найдите все целочисленные решения уравнения
x² −14x + 4y² + 32y + 88 = 0. Ответ: (12; − 4); (2; − 4); (10; − 2); (4; − 2); (10; − 6); (4; − 6).

3.2. Найдите все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению. Ответ: (0;0), (2;2)

3.3. Решите уравнение xy + x − y = 2 в целых числах.

Указание. (x −1)( y +1) = 1. Ответ: x = 2, y = 0; x = 0, y = −2.

3.4. Решите в целых числах уравнение x + y = x² − xy + y² .

Указание. Преобразуйте уравнение к виду (x −1)² + ( y −1)² + (x − y)² = 2.
Ответ: (0;0);(1;0);(0;1);(2;1);(1;2);(2;2).

3.5. Найдите все целые решения уравнения: x² − 2xy + 2x − y +1 = 0.

Решение: Преобразуем данное уравнение, выделив квадрат трехчлена:
(x² + y² +1− 2xy + 2x − 2y) − y² + y = 0 ⇔ (x − y +1)² = ( y −1) y.

Можно показать, что ( y −1) y является квадратом целого числа тогда, и только тогда, когда y = 0 или y = 1. Если y = 1, то x = 0; если y = 0 , то x = −1.
Ответ: x = 0; y = 1 или x = −1; y = 0.

3.6. Решите в целых числах уравнение 2x² − 2xy + 9x + y = 2.

3.7. Найдите все пары целых чисел (x; y) , удовлетворяющих уравнению
x² = y² + 2y +13.
Указание. Представим уравнение в виде x² = ( y +1)² +12 или x² − ( y +1)² = 12, (x − y −1)(x + y +1) = 12. Заметив, что каждая скобка – четное число, получаем 4 возможности, оттуда следует ответ.
Ответ: (4;1); (4; − 3); (−4;1); (−4;− 3).