Некоторые факты из теории чисел

Приведу некоторые факты из теории чисел, необходимые при решении задач группы С6 ЕГЭ. Некоторые из них очевидны, но тем не менее это позволяет еще  раз вспомнить некоторые факты.

Часть утверждений приведена с доказательствами, часть – без. В качестве дополнительного задания попробуйте доказать эти утверждения.

• Признаки делимости чисел:
  • Число делится на 2, если на 2 делится его последняя цифра.
  • Число делится на 3, если на 3 делится сумма его цифр.
  • Число делится на 4, если на 4 делится число, составленное из последних двух цифр.
  • Число делится на 5, если на 5 делится его последняя цифра.
  • Число делится на 6, если  на 2 делится его последняя цифра, и делится на 3 сумма цифр (т.е. комбинация признаков на 2 и 3).
  • Число делится на 8, если на 8 делится число, составленное из последних трех цифр.
  • Число делится на 9, если на 9 делится сумма его цифр.
  • Число делится на 10, если последняя  цифра числа – 0.
  • Число делится на 72, если  на 8 делится число, составленное из последних трех цифр, и делится на 9 сумма цифр (т.е. комбинация признаков на 8 и 9, т.к. 72=8*9).
• НОД (a;b) = НОД (a;a + b)
• НОД (a;b) = НОД (a;a − b)
• Если целые числа a и b взаимно просты, то их сумма a + b и произведение ab также являются взаимно простыми числами.
• Если целые числа a и b являются взаимно простыми, то НОД (a + b;a − b) равен 1 или 2.

Доказательство. Положим НОД (a + b;a − b) = d. Тогда (a + b) | d, (a − b) | d. Следовательно, сумма и разность чисел a + b и a − b , равные соответственно 2a и 2b делятся на d. Но числа а и b по условию взаимно просты, поэтому 2 делится на d: 2 | d. Отсюда d = 1 или d = 2. Оба эти случая возможны. Действительно, d = 1, если числа а и b разной четности, и d = 2, если они нечетны.

• Любые два последовательных натуральных числа взаимно просты.
• Наибольший общий делитель любых двух последовательных четных натуральных чисел равен 2.
• Любые два последовательных нечетных натуральных числа взаимно просты.
• Если целые числа a и b являются взаимно простыми, то НОД (a + b;a2 − ab + b2 ) равен 1 или 3.
• Если натуральные числа m и n взаимно просты, то НОД (m + n;m2 + n2 ) равен 1 или 2.

Доказательство. Пусть d – общий делитель чисел m+ n и m2 + n2 . Тогда на d делится также число (m + n)2, а значит, и число (m + n)2 − (m2 + n2 ) = 2mn. Итак, d является общим делителем чисел m+ n и 2mn. Но m+ n и m не могут иметь общих делителей, отличных от 1 (так как m и n взаимно просты), и тоже справедливо для чисел m+ n и n. Следовательно, d является делителем числа 2, т.е. d = 1 или d = 2.

• Квадрат любого натурального числа может оканчиваться только на числа 0, 1, 4, 5, 6, 9.
• Квадрат любого натурального числа или делится на 2 (на 4), когда само число чётное, или при делении на 2 (на 4) даёт в остатке 1.
• Квадрат любого натурального числа или делится на 3, когда на 3 делится само число, или при делении на 3 даёт в остатке 1.
• Квадрат любого натурального числа или делится на 5, когда на 5 делится само число, или при делении на 5 даёт в остатке 1 или 4.
• Квадрат любого натурального числа или делится на 7, когда на 7 делится само число, или при делении на 7 даёт в остатке 1, 2 или 4.
• Разность квадратов двух целых чисел одинаковой чётности делится на 4.
• Число 4ⁿ при делении на 3 дает в остатке 1.

Доказательство. 4ⁿ = (3 +1)ⁿ = 3ⁿ + 3ⁿ⁻¹ + … + 3 +1 = 3t +1,где n, t ∈ N.

• Число 5²ⁿ при делении на 3 дает в остатке 1, а 5²ⁿ⁺¹ дает в остатке 2.

Доказательство. 5²ⁿ = 25ⁿ = (24 +1)ⁿ = 24 p +1 = 3t +1, 5²ⁿ⁺¹ = 5(3p +1) = 15p + 3 + 2 = 3t +1, где n, p, t ∈ N.

• При делении на 3 куб целого числа и само число дают одинаковые остатки (0, 1, 2).
• При делении на 9 куб целого числа дает в остатке 0, 1, 8.
• При делении на 4 куб целого числа дает в остатке 0, 1, 3.
• Число N⁵ оканчивается на ту же цифру, что и число N.